Benutzer:Gabriel.cicek/Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit/6.Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: Unterschied zwischen den Versionen

Aus ZUM Projektwiki
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Keine Bearbeitungszusammenfassung
Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung
Zeile 58: Zeile 58:


{{Lösung versteckt|{{#ev:youtube|Pi1M1F2l024|600|center}}|Erklärvideo|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|{{#ev:youtube|Pi1M1F2l024|600|center}}|Erklärvideo|Verbergen}}




Zeile 74: Zeile 73:
|Üben}}
|Üben}}


{{Lösung versteckt|
1=
b) <math>\tfrac{9}{25}</math>
c) <math>\tfrac{15}{40}</math> = <math>\tfrac{3}{8}</math>
|
2= Lösung Übung 1  |
3= Verbergen
}}


{{Box|Übung 2|
{{Box|Übung 2|
Zeile 90: Zeile 100:
(3) Es wird eine rote und eine gelbe Kugel gezogen.
(3) Es wird eine rote und eine gelbe Kugel gezogen.


(4) Es wird keine blaue Kugel gezogen.
(4) Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.


(5) Es wird eine rote oder eine gelbe Kugel gezogen.
(5) Es wird eine rote oder eine gelbe Kugel gezogen. Rechne hier mit dem Gegenereignis!


|Üben}}
|Üben}}


{{Lösung versteckt|
1=
b)
(1) <math>\tfrac{40}{361}</math> ≈ 11%
(2) <math>\tfrac{5}{361}</math> ≈ 1,39%
(3) <math>\tfrac{25}{361}</math> ≈ 6,93%
(4) <math>\tfrac{240}{361}</math> ≈ 66,48%
(5) P(E) = 1 - P(Ē)
    P(E) = 1 - <math>\tfrac{81}{361}</math> ≈ 77,56%
|
2= Lösung Übung 2  |
3= Verbergen
}}




Zeile 102: Zeile 127:


|Üben}}
|Üben}}
{{Lösung versteckt|
1=
a) Nach jedem Wurf wird notiert, ob eine sechs gefallen ist oder nicht.
Die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu würfeln beträgt jeweils <math>\tfrac{1}{6}</math>, keine sechs zu Würfeln <math>\tfrac{5}{6}</math>
b)
(1) <math>\tfrac{25}{36}</math> ≈ 69%
(2) <math>\tfrac{5}{18}</math> ≈ 28%
(3) <math>\tfrac{1}{36}</math> ≈ 3%
(4) <math>\tfrac{11}{36}</math> ≈ 31%
(5) <math>\tfrac{35}{36}</math> ≈ 97%
2= Lösung Übung 3  |
3= Verbergen
}}

Version vom 13. September 2023, 14:52 Uhr

Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten (mithilfe eines Baumdiagramms)?

Um zu einem möglichen Ergebnis zu gelangen, musst du einen bestimmten Pfad des Baumdiagrammes gehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.


Produktregel
Bei einem zweistufigen Zufallsversuch wird die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (geordnetes Paar) berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert werden.

Beispiel:
Es wird eine Münze zweimal geworfen. Mögliche Ergebnisse pro Wurf sind Kopf (K) und Zahl (Z). Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf,Kopf lässt sich mit der Produktregel wie folgt berechnen:

P(K,K) = ∙ = = 0,25 = 25%

Baumdiagramm:

Münzwurf Baumdiagramm.jpg




Falls du noch zusätzliche Hilfe zur Produktregel brauchst benötigst, findest du hier ein Erklärvideo.

Schaue es nur, wenn du es nicht verstanden hast!!!



Video laden
YouTube


Nun betrachten wir nicht mehr nur einzelne Ergebnisse sondern berechnen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren günstigen Ergebnissen zusammen.
Beispiel:
Das Ereignis E: Die Münze zeigt mindestens einmal Zahl" setzt sich aus den Ergebnissen (K,Z) und (Z,Z) zusammen.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse addiert.


Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten von allen günstigen Ergebnissen, die zu diesem Ereignis gehören, addiert werden.


Beispiel:
E: "Die Münze zeigt mindestens einmal Zahl"
P(E) = P(K,Z) + P(Z,Z)
       = +
       = = 0,125 = 12,5%

Baumdiagramm:

Baumdiagramm Produktregel.jpg



Summenregel
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten von allen günstigen Ergebnissen, die zu diesem Ereignis gehören, addiert werden.

Falls du noch zusätzliche Hilfe zur Summenregel brauchst benötigst, findest du hier ein Erklärvideo.

Schaue es nur, wenn du es nicht verstanden hast!!!

Video laden
YouTube


Übung 1

Aus einem Behälter mit 3 blauen und 2 roten Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Nach jedem Zug werden die Kugeln wieder zurückgelegt.

Aufgaben:

a) Zeichne zu dem Zufallsversuch ein Baumdiagramm und beschrifte ihn vollständig!

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen?

b)

c) =


Übung 2

Aus einem Behälter mit 8 blauen, 5 roten, 1 schwarze und 5 gelben Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Nach jedem Zug werden die Kugeln wieder zurückgelegt.

Aufgaben:

a) Zeichne zu dem Zufallsversuch ein Baumdiagramm und beschrifte ihn vollständig!

b) Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:

(1) Es wird eine blaue und eine rote Kugel gezogen.

(2) Es wird eine schwarze und eine gelbe Kugel gezogen.

(3) Es wird eine rote und eine gelbe Kugel gezogen.

(4) Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.

(5) Es wird eine rote oder eine gelbe Kugel gezogen. Rechne hier mit dem Gegenereignis!

b) (1) ≈ 11% (2) ≈ 1,39% (3) ≈ 6,93% (4) ≈ 66,48% (5) P(E) = 1 - P(Ē)

P(E) = 1 - ≈ 77,56%


Übung 3

S.189, Nr.5

a) Nach jedem Wurf wird notiert, ob eine sechs gefallen ist oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu würfeln beträgt jeweils , keine sechs zu Würfeln

b) (1) ≈ 69% (2) ≈ 28% (3) ≈ 3% (4) ≈ 31% (5) ≈ 97%

2= Lösung Übung 3
Abgerufen von „https://projekte.zum.de/index.php?title=Benutzer:Gabriel.cicek/Zufällige_Ereignisse_und_ihre_Wahrscheinlichkeit/6.Pfadregeln_zur_Berechnung_von_Wahrscheinlichkeiten&oldid=85976“