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Wendepunkte

Merke: Definition

Ein Wendepunkt beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das Krümmungsverhalten des Graphes ändert. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Reschts-links-Wendestelle, im folgenden als RLW bezeichnet) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, im folgenden als LRW bezeichnet).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung in die man lenkt ändert.

Wendepunkte angeben

Gib die Wendepunkte im Graphen an.

Merke: Definition 2

An einem Wendepunkt $x_W$ einer Funktion $f(x)$ ist die Steigung in der näheren Umgebung maximal bzw. minimal. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle einen Extrempunkt aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion $f'(x)$ im Punkt $x_W$ einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion $f''(x)$ in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

Zusammenfassung:

• notwendiges Kriterium: $f''(x_W)=0$
• hinreichendes Kriterium: $f'''(x_W) \neq 0$, Wobei ($f'''(x_W) > 0 \Rightarrow$RLW oder $f'''(x_W) < 0 \Rightarrow$LRW)

Berechnen des Wendepunktes

1. Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen

2. Intervalle benennen

4. Monotonietabelle aufstellen

5. Vorzeichen der Intervalle berechnen

6. Ergebnis interpretieren