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<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>
<math>f''(x_W)=7x_W^2-10=0 </math>


<math>\Rightarrow x_W^2=\pm\frac{10}{7} </math>
<math>\Rightarrow x_W^2=\frac{10}{7} </math>


<math>\Rightarrow x_W=\sqrt{\frac{10}{7}}</math>
<math>\Rightarrow x_W=\pm\sqrt{\frac{10}{7}}</math>
 
<math>\Rightarrow x_W_1=+\sqrt{\frac{10}{7}}</math> und <math>\Rightarrow x_W_2=-\sqrt{\frac{10}{7}}</math>
 
* Hinreichendes Kriterium: <math>f''(x_W)\neq 0</math>
<math>f'''(x_W)=14x</math>


| Beispiel}}
| Beispiel}}

Version vom 16. April 2020, 18:45 Uhr

Wendepunkte

Merke: Definition

Ein Wendepunkt beschreibt einen Punkt auf einem Funktionsgraphen an dem sich das Krümmungsverhalten des Graphes ändert. Der Funktionsgraph ändert an dieser Stelle seine Krümmung von rechts nach links (Reschts-links-Wendestelle, kurz: RLW) oder von links nach rechts (Links-rechts-Wendestelle, kurz: LRW).

Tipp: Es kann helfen, wenn man sich vorstellt auf dem Graphen mit einem Fahrrad zu fahren, so ist der Wendepunkt genau an dem Punkt, wo sich die Richtung, in die man lenkt, ändert.

Wendepunkte angeben

Gib die Wendepunkte im Graphen an.


Merke: Definition 2

An einem Wendepunkt einer Funktion ist die Steigung in der näheren Umgebung maximal bzw. minimal. Somit folgt, dass die Ableitung an dieser Stelle einen Extrempunkt aufweist. Daraus ergibt sich das notwendige Kriterium für einen Wendepunkt. Aus dem vorherigen Kapitel haben wir gelernt: Wenn die Funktion im Punkt einen Extrempunkt aufweist, so ist die Ableitung dieser Funktion in diesem Punkt gleich 0. Das hinreichende Kriterium ergibt sich, wie im vorherigen Kapitel.

Zusammenfassung:

  • notwendiges Kriterium:
  • hinreichendes Kriterium: , Wobei gilt: RLW oder LRW
Berechnen des Wendepunktes
  • Notwendiges Kriterium: Nullstellen der zweiten Ableitung berechnen
  • Hinreichendes Kriterium: Einsetzen der berechneten Funktionstherms in die dritte Ableitung (RLW oder LRW?)
  • Berechnen des Funktionswertes durch einsetzen des Funktionstherms in die Ursprüngliche Funktion

Beispiel: Gegeben sei die Funktion

  • Notwendiges Kriterium:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow x_W_1=+\sqrt{\frac{10}{7}}} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \Rightarrow x_W_2=-\sqrt{\frac{10}{7}}}

  • Hinreichendes Kriterium: