Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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====Die Bedeutung des Parameters a in :<math>x \rightarrow a\cdot \sin x </math>==== | ====Die Bedeutung des Parameters a in :<math>x \rightarrow a\cdot \sin x </math>==== | ||
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> a </math> in | Wir betrachten nun den Einfluss von <math> a </math> in | ||
:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math>. | |||
{{Box|1=Aufgabe 2|2= | |||
{{Box|1=Aufgabe | |||
<ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> <br> | <ggb_applet height="450" width="900" id="yye6hqbw" /> <br> | ||
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> a </math> ändern. <br> | # Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> a </math> ändern. <br> | ||
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:<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math> | :<math> x \rightarrow a\cdot \sin x </math> | ||
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer: | aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer: | ||
* | * Ist der Betrag von <math>a</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestreckt. | ||
* | * Ist der Betrag von <math>a</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>y</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> a </math> gestaucht. | ||
* | * Falls <math> a </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>x</math>-Achse gespiegelt. | ||
Der Betrag von <math> a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}} | Der Betrag von <math> a </math> wird auch als Amplitude bezeichnet.|3=Merksatz}} | ||
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==== Die Bedeutung der Parameters b in :<math> x \rightarrow \sin ( b \cdot x ) </math> ==== | |||
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> b </math> in | |||
:<math> x \rightarrow \sin ( b \cdot x ) </math>. | |||
{{Box|1=Aufgabe 3|2= | |||
<ggb_applet height="450" width="900" id="e7wkrhyj" /> <br> | |||
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> b </math> ändern. <br> | |||
# Stelle den Schieberegler auf <math> b = 2 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br> | |||
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> b = 3 </math> und <math> b = -1 </math> sowie <math> b = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br> | |||
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br> | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Box|1=Merke|2= | |||
Man erhält den Graph der Funktion | |||
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> | |||
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Streckung oder Stauchung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer: | |||
* Ist der Betrag von <math>b</math> größer als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestaucht. | |||
* Ist der Betrag von <math>b</math> kleiner als eins, so wird der Graph der Sinusfunktion in <math>x</math>-Richtung mit dem Faktor Betrag von <math> \frac{1}{b} </math> gestreckt. | |||
* Falls <math> b </math> negativ ist, so wird der Graph zusätzlich an der <math>y</math>-Achse gespiegelt. | |||
Die Periode der Funktion ist <math>\frac{2\pi}{|b|}</math>. | |||
D.h., wenn man z.B. <math>b </math> verdoppelt, so halbiert sich die Periode. |3=Merksatz}} | |||
}} | |||
==== Die Bedeutung des Parameters c in :<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> ==== | |||
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> c </math> in | |||
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math>. | |||
{{Box|1=Aufgabe C1|2= | |||
<ggb_applet height="450" width="900" id="ypthxjcu" /> <br> | |||
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> c </math> ändern. <br> | |||
# Stelle den Schieberegler auf <math> c = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br> | |||
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> c = 2 </math> und <math> c = -1 </math>, sowie <math> c = 0,5 </math> und <math> c = \frac{\pi}{2} </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br> | |||
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br> | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Box|1=Merke|2= | |||
Man erhält den Graph der Funktion | |||
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> | |||
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>x</math>-Achse. Genauer: | |||
* Ist <math>c</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach links verschoben. | |||
* Ist <math>c</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> c </math> nach rechts verschoben. | |||
<math>c</math> wird auch als Phasenverschiebung bezeichnet.|3=Merksatz}} | |||
}} | |||
==== Die Bedeutung des Parameters d in :<math> x \rightarrow \sin x + d </math> ==== | |||
Wir betrachten nun den Einfluss von <math> d </math> in | |||
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math>. | |||
{{Box|1=Aufgabe D1|2= | |||
<ggb_applet height="450" width="900" id="jr7hupnz" /> <br> | |||
# Öffne dieses GeoGebra-Applet. Mit dem Schieberegler kannst du den Wert von <math> d </math> ändern. <br> | |||
# Stelle den Schieberegler auf <math> d = 1 </math> ein. Wie ändert sich der Graph? <br> | |||
# Überlege dir, wie sich die Werte <math> d = 2 </math> und <math> d = -1 </math> sowie <math> d = 0,5 </math> auf den Graphen auswirken und überprüfe deine Vermutung. <br> | |||
# Formuliere das Ergebnis deiner Untersuchungen. <br> | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
{{Box|1=Merek|2= | |||
Man erhält den Graph der Funktion | |||
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math> | |||
aus dem Graph der Sinusfunktion durch Verschiebung in Richtung der <math>y</math>-Achse. Genauer: | |||
* Ist <math>d</math> positiv, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> d </math> nach oben verschoben. | |||
* Ist <math>d</math> negativ, so wird der Graph der Sinusfunktion um den Betrag von <math> d </math> nach unten verschoben.|3=Merksatz}} | |||
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Version vom 5. April 2023, 14:16 Uhr
5 Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Die Zuordnung der Sinuswerte zu einem Winkel ist eindeutig, d.h. es handelt sich um eine Funktion, die Sinusfunktion.
Auf dieser Seite lernst du die verschiedenen Darstellungen (Text, Wertetabelle, Gleichung und Graph) zur Sinusfunktion kennen. Auch die Sinusfunktion enthält die Parameter a, b, c und d und du erforscht deren Bedeutung.
Erinnerst du dich an die Bedeutung der Parameter m und b bei den linearen Funktionen f(x) = mx + b bzw. an die Bedeutung von a, d und e bei den quadratischen Funktionen f(x) = a(x + d)² + e?
Ebenso erforscht du die Sinusfunktion.
5.1 Der Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein besonderer Kreis: Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung M(0|0) und sein Radius beträgt r = 1 LE (Längeneinheit).
Auf den Kreisrand liegen also alle Punkte, die vom Ursprung den Abstand 1 haben.
Am Einheitskreis lassen sich die Streckenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens gut verdeutlichen:
Originallink https://www.geogebra.org/m/p2hcjn3f
Applet von Buß-Haskert
5.2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Applet von Reinhard Schmidt Originallink https://www.geogebra.org/m/tjt2hhs2
Stellst du dir den Punkt P des Einheitskreises als eine Gondel an einem Riesenrad vor und trägst die Höhe der Gondel zu einem bestimmten Zeitpunkt dar, ergibt sich der Graph der Sinusfunktion.
Applet nach Matthias Heinitz Originallink https://www.geogebra.org/m/drb6q4ry
Applet von Buß-Haskert (nach chje) Originallink: https://www.geogebra.org/m/stgatxum
5.3 Die allgemeinen Sinusfunktion: Bedeutung der Parameter für den Verlauf des Graphen
Dieses Kapitel orientiert sich am Lernpfad "Trigonometrische Funktionen" von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher. Er wurde erstellt unter der Lizenz CC BY SA (https://unterrichten.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen/Einfluss_der_Parameter). Herzlichen Dank!
Die Bedeutung des Parameters a in :
Wir betrachten nun den Einfluss von in
- .
Die Bedeutung der Parameters b in :
Wir betrachten nun den Einfluss von in
- .
Die Bedeutung des Parameters c in :
Wir betrachten nun den Einfluss von in
- .
Die Bedeutung des Parameters d in :
Wir betrachten nun den Einfluss von in
- .
Jetzt noch was zum Knobeln!!!
Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:
Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.
Datei:Test sin 1.jpg | |
Datei:Test sin 2.jpg | |
Datei:Test sin 3.jpg | |
Datei:Test sin 4.jpg | |
Datei:Test sin 5.jpg | |
Datei:Test sin 6.jpg |