Benutzer:Buss-Haskert/Trigonometrie/Sinusfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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=== Die Bedeutung der Parameter in der allgemeinen Sinusfunktion === | ===Die allgemeinen Sinusfunktion: Bedeutung der Parameter für den Verlauf des Graphen=== | ||
Dieses Kapitel orientiert sich am Lernpfad "Trigonometrische Funktionen" von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher. Er wurde erstellt unter der Lizenz CC BY SA (https://unterrichten.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen/Einfluss_der_Parameter). Herzlichen Dank! | |||
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<div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>a</math> </div> | |||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von a|hier]] den Einfluss von | |||
:<math>a </math> | |||
auf die Graphen der Funktionen | |||
:<math>x \rightarrow a\cdot \sin x </math> | |||
und | |||
:<math> x \rightarrow a\cdot \cos x </math>. | |||
</div> | |||
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<div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>b</math> </div> | |||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von b|hier]] den Einfluss von | |||
:<math>b</math> | |||
auf die Graphen der Funktionen | |||
:<math> x \rightarrow \sin ( b\cdot x ) </math> | |||
und | |||
:<math> x \rightarrow \cos ( b\cdot x ) </math>. | |||
</div> | |||
<div class="width-1-4"><div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>c</math> </div> | |||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von c|hier]] den Einfluss von | |||
:<math>c</math> | |||
auf die Graphen der Funktionen | |||
:<math> x \rightarrow \sin ( x + c ) </math> | |||
und | |||
:<math> x \rightarrow \cos ( x + c ) </math>. | |||
</div> | |||
<div class="width-1-4"><div style="background-color:#ffff00"> Einfluss von <math>d</math> </div> | |||
Untersuche [[Trigonometrische_Funktionen/Einfluss von d|hier]] den Einfluss von | |||
:<math>d</math> | |||
auf die Graphen der Funktionen | |||
:<math> x \rightarrow \sin x + d </math> | |||
und | |||
:<math> x \rightarrow \cos x + d </math>. | |||
</div> | |||
</div> | |||
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'''Jetzt noch was zum Knobeln!!!''' | |||
{{Box|1= Aufgabe 1|2= | |||
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion? Zeichne dazu die Graphen der Funktionen <math>\,\!x \rightarrow \sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)</math> und <math>\,\!x \rightarrow \cos(x)</math> in dein Heft oder mit Hilfe von diesem [http://www.gymnasium-walldorf.de/mathematik/trigo_otto/trigo.html Applet] und betrachte sie! Was fällt dir auf? | |||
{{Lösung versteckt|Überlege dir zunächst die Lage der Nullstellen und die Größe der Amplitude!|Tipp zum Zeichnen ins Heft|Tipp ausblenden}} | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1= | |||
Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt: | |||
{{Box|1=Merke|2= | |||
<span style="background-color:yellow;"> Man erhält den Graphen der Kosinusfunktion, indem man z.B. den Graphen der Sinusfunktion um <math>\frac{\pi}{2}</math> nach links verschiebt. | |||
Deshalb verhält sich die allgemeine Kosinusfunktion bei Variation ihrer Parameter genauso wie die allgemeine Sinusfunktion.|3=Merksatz}} | |||
|2=Lösung zu Aufgabe 1|3=Ausblenden}} | |||
Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig. | |||
{{Box|1= Merke|2= | |||
Die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Sinusfunktion</span> lautet | |||
:<span style="background-color:yellow;"> '''<math> x\rightarrow a\cdot\sin\Big(b\cdot (x+c)\Big)+d </math>''' </span>. | |||
Entsprechend lautet die <span style="background-color:yellow;">allgemeine Kosinusfunktion</span> | |||
:<span style="background-color:yellow;"> '''<math> x \rightarrow a\cdot \cos \Big( b\cdot (x + c) \Big) + d </math>''' </span>. | |||
Dabei sind <math>\ a,b,c,d </math> Parameter, die auf das Aussehen des Funktionsgraphen Einfluss nehmen. Es gilt <span style="background-color:yellow;"> '''<math>\ a,b,c,d \in \R </math>''' </span> und <span style="background-color:yellow;"> '''<math>a,b\neq 0</math>''' </span>.|3=Merksatz}} | |||
{{Box|1=Aufgabe 2|2= | |||
Bringe den Smily zum Lachen! Variiere dazu die verschiedenen Parameter der allgemeinen Sinusfunktion und beobachte die Auswirkungen auf den Graphen. | |||
<center> | |||
<ggb_applet width="690" height="517" version="4.2" id="dtyeqjsn" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /> <br> | |||
</center>|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Box|1=Aufgabe 3|2= | |||
Parameter gesucht! Je einer der Parameter <math>a, b, c </math> und <math>d</math> wird variiert, die anderen bleiben unverändert. Ergänze jeweils den Parameter, der variiert wird! | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
Die Nullstellen, Extrema und die Periode verändern sich nicht, falls <strong> a </strong> varriert wird, die Wertemenge jedoch schon.<br> | |||
Variiert man <strong> c </strong>, so verändern sich die Nullstellen und Extrema, aber nicht die Periode und die Wertemenge.<br> | |||
Ändern sich die Nullstellen und die Wertemenge, wobei die Extrema und die Periode bleiben, dann wird <strong> d </strong> variiert.<br> | |||
Nullstellen, Extrema und Periode ändern sich, die Wertemenge bleibt aber gleich, falls <strong> b </strong> variiert wird. | |||
</div> | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Box|1=Aufgabe 4|2= | |||
* In diesem <!-- [http://www.mathe-online.at/mathint/fun2/applet_b_funerk3.html Applet] --> [http://www.mathe-online.at/galerie/fun2/fun2.html#funerk3 Applet] (Klicke dann dort auf '''Funktionen erkennen 3'''!) kannst du zeigen, ob du zu gegebenen Funktionstermen die zugehörigen Graphen findest. | |||
* Memory | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
<div class="memo-quiz"> | |||
{| | |||
|- | |||
|<big> ''' <math>-\cos \frac{x}{2}</math> '''</big>||[[Bild:Test sin 1.jpg|120px]] | |||
|- | |||
|<big> ''' <math>-0,5 \cdot \sin (2x)</math> '''</big>||[[Bild:Test sin 2.jpg|120px]] | |||
|- | |||
|<big> ''' <math>2 \cdot\sin x</math> '''</big>||[[Bild:Test sin 3.jpg|120px]] | |||
|- | |||
|<big> ''' <math>\sin x</math> '''</big>||[[Bild:Test sin 4.jpg|120px]] | |||
|- | |||
|<big> ''' <math>\cos x</math> ''' </big>||[[Bild:Test sin 5.jpg|120px]] | |||
|- | |||
|<big> '''<math>\cos(x+\frac{\pi}{4})</math>'''</big>||[[Bild:Test sin 6.jpg|120px]] | |||
|} | |||
</div> | |||
{{Box|1=Aufgabe 5 - Zusatzaufgabe Mind Map|2= | |||
Nun sollst du ein Mind Map über die in dieser Station gelernten Zusammenhänge erstellen. Am besten verwendest du dazu dein Heft im Querformat und zeichnest am linken Rand in die Mitte einen Kreis, in den du Einfluss der Parameter schreibst. Von dem Kreis ausgehend kannst du vier Äste nach rechts zeichnen, auf denen du die Parameter notierst. An diese Äste kannst du dann Zweige hängen, die sich natürlich weiter verästeln können. <br> | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
{{Lösung versteckt|1=[[Bild:Übersicht.png|800px|center]]|2=Lösung zu Aufgabe 5|3=Ausblenden}} |
Version vom 5. April 2023, 14:02 Uhr
5 Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Die Zuordnung der Sinuswerte zu einem Winkel ist eindeutig, d.h. es handelt sich um eine Funktion, die Sinusfunktion.
Auf dieser Seite lernst du die verschiedenen Darstellungen (Text, Wertetabelle, Gleichung und Graph) zur Sinusfunktion kennen. Auch die Sinusfunktion enthält die Parameter a, b, c und d und du erforscht deren Bedeutung.
Erinnerst du dich an die Bedeutung der Parameter m und b bei den linearen Funktionen f(x) = mx + b bzw. an die Bedeutung von a, d und e bei den quadratischen Funktionen f(x) = a(x + d)² + e?
Ebenso erforscht du die Sinusfunktion.
5.1 Der Einheitskreis
Der Einheitskreis ist ein besonderer Kreis: Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung M(0|0) und sein Radius beträgt r = 1 LE (Längeneinheit).
Auf den Kreisrand liegen also alle Punkte, die vom Ursprung den Abstand 1 haben.
Am Einheitskreis lassen sich die Streckenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens gut verdeutlichen:
Originallink https://www.geogebra.org/m/p2hcjn3f
Applet von Buß-Haskert
5.2 Sinusfunktion und Kosinusfunktion
Applet von Reinhard Schmidt Originallink https://www.geogebra.org/m/tjt2hhs2
Stellst du dir den Punkt P des Einheitskreises als eine Gondel an einem Riesenrad vor und trägst die Höhe der Gondel zu einem bestimmten Zeitpunkt dar, ergibt sich der Graph der Sinusfunktion.
Applet nach Matthias Heinitz Originallink https://www.geogebra.org/m/drb6q4ry
Applet von Buß-Haskert (nach chje) Originallink: https://www.geogebra.org/m/stgatxum
Die allgemeinen Sinusfunktion: Bedeutung der Parameter für den Verlauf des Graphen
Dieses Kapitel orientiert sich am Lernpfad "Trigonometrische Funktionen" von Silvia Joachim, Karl Haberl und Franz Embacher. Er wurde erstellt unter der Lizenz CC BY SA (https://unterrichten.zum.de/wiki/Trigonometrische_Funktionen/Einfluss_der_Parameter). Herzlichen Dank!
Jetzt noch was zum Knobeln!!!
Ja genau, die Graphen der beiden angegebenen Funktionen sind identisch. Genauer gesagt:
Du hast eine Menge über den Einfluss der einzelnen Parameter auf das Aussehen der Graphen herausgefunden. Natürlich können aber die Parameter nicht nur einzeln variiert werden, sondern auch mehrere oder alle gleichzeitig.
Datei:Test sin 1.jpg | |
Datei:Test sin 2.jpg | |
Datei:Test sin 3.jpg | |
Datei:Test sin 4.jpg | |
Datei:Test sin 5.jpg | |
Datei:Test sin 6.jpg |