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Gleichungen - Halte die Waage im Gleichgewicht
1) Was ist eine Gleichung

1.1) Was ist eine Gleichung?

Kennst du eine Balkenwaage z.B. aus dem Physikunterricht oder vom Markt?
oder

Diese Waagen sind im Gleichgewicht, wenn das Gewicht auf beiden Seiten der Waage gleich groß ist.
In der Mathematik liegt auf jeder Seite der Waage ein Term (Rechenausdruck). Das Gleichgewicht stellen wir mit einem Gleichheitszeichen dar.

Was ist eine Gleichung?

In einer Gleichung werden zwei Terme mit einem Gleichheitseichen verbunden.

Du kennst Terme (Rechenausdrücke) aus dem vorangegangenen Kapitel. Nun verbindest du zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen. Damit erhältst du eine Gleichung.

Übung 1

Entscheide in der nachfolgenden LeanringApp, ob es sich um eine Gleichung handelt oder nicht.

Ziel ist es, für die Variablen genau die Zahl zu finden, sodass auf beiden Seiten der Gleichung derselbe Wert steht. Dann ist die Waage im Gleichgewicht.
In jeder Tüte befinden sich gleich viele Klötzchen (x-Stück).
Wie viele Klötzchen befinden sich in jeder Tüte, damit die Waage im Gleichgewicht ist?

1.2 Lösen durch Probieren

Idee

Die Tüten müssen mit gleich vielen Klötzchen befüllt werden. Probiere aus.

Gib die passende Gleichung für diese Situation und die Lösung an.

Tütengleichungen

a) Lege die Gleichung 5 + x = 8 mit dem Material nach und zeichne die Situation in dein Heft. Wie viele Klötzchen müssen dann in der Tüte liegen. Probiere aus und notiere die Lösung im Heft.
b) Lege die Gleichung 2·x + 4 = 10 mit dem Material nach. Wie viele Klötzchen müssen in einer Tüte sein, wenn sich in jeder Tüte gleich viele Klötzchen befinden müssen? Probiere aus und notiere die Lösung im Heft.

c) Erkläre und begründe, wie du vorgegangen bist.

Übung 1 - Tütengleichungen

Löse die nachfolgende LearningApp. Wenn du magst, kannst du die Situationen mit dem Material nachlegen.

Übung 2

Erfinde Tütengleichungen und lass sie von deinem Sitznachbarn lösen.
Material: Holzwürfel und Brottüten

Notiert die Gleichungen und die zugehörige Lösung im Heft.

Idee

Notiere eine Gleichung zur dargestellten Situation.

Setzte nun nacheinander für x die Werte ab 1 ein finde so die richtige Lösung.

x (Wert)	Gleichung	Lösung (Ja/Nein)
1	1 + 7 = 2·1 + 1	Nein
2	2 + 7 = 2·2 + 1	Nein
3	...	...
...	...	...

Die Gleichung zur Situation lautet:

x + 7 = 2·x + 1

Du setzt die Werte für x immer anstelle der Variablen ein. Dann rechnest du die beiden Seiten der Gleichung aus und prüfst, ob sie denselben Wert haben. Wenn dies der Fall ist, hast du die Lösung der Gleichung gefunden.
Beispiel:
x + 7 = 2·x + 1 für x = 2
2 + 7 = 2·2 + 1
9 = 5 (f)

Die 2 ist also NICHT Lösung der Gleichung.

Lösung der Gleichung:
x = 6, denn
x + 7 = 2·x + 1 für x = 6
6 + 7 = 2·6 + 1

13 = 13 (w)

Lösung einer Gleichung

Eine Zahl ist die Lösung einer Gleichung, wenn beim Einsetzen dieser Zahl die beiden Terme den gleichen Wert haben. Es entsteht also eine eine wahre Aussage.

Die Lösung einer Gleichung kann durch Probieren bestimmt werden: Setze dazu für x verschiedene Zahlen ein. Prüfe, ob eine wahre(w) oder falsche(f) Aussage entsteht.

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Übung 3 - Lösen durch Probieren

Löse die nachfolgende LearningApp. Setze für x die angegebenen Zahlen ein und prüfe, ob eine wahre(w) oder falsche(f) Aussage entsteht. Gib dann die Lösung der Gleichung an.

Übung 4

Löse in der nachfolgenden LearningApp die Gleichung durch Probieren im Kopf.