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| {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} | | {{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}} |
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| SEITE IM AUFBAU, NUR IDEENSAMMLUNG!!
| | [[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]] |
| | | {{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}} |
| | <br> |
| {{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad lernst du | | {{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad lernst du |
| * was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet | | * was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet |
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| * was eine Exponentialfunktion ist | | * was eine Exponentialfunktion ist |
| * Anwendungen zur Exponentialfunktion kennen | | * Anwendungen zur Exponentialfunktion kennen |
| Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differe nzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}} | | Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}} |
| Der Lernpfad nutzt als Grundlage das Buch "Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe" aus dem Klett-Verlag.
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| Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen: | | Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen: |
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| berechnen.
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| {| class="wikitable" | | {| class="wikitable" |
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| |- | | |- |
| |} | | |} |
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| zu.
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| Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch! | | Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch! |
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| {{Fortsetzung|weiter=1) Wachstum und Abnahme|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum}} | | {{Fortsetzung|weiter=1) Wachstum und Abnahme|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum}} |
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| {{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br>
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| Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}}
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| {{Lösung versteckt|Mögliche Antworten:<br>
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| * Bevölkerungswachstum
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| * Bakterienwachstum
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| * Haarwachstum
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| * Druckzunahme je nach Meerestiefe
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| * Temperaturanstieg
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| * Sprunghöhe Flummi
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| * Zerfall von Bierschaum
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| * Kerzenhöhe je nach Dauer
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| * Lichtintensität
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| * Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}}
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| ==1 Lineares und exponentielles Wachstum==
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| Sparmodell (vgl. Zinseszins)
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| Erinnerung: Sparmodelle
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| ===1) Einstieg: Sparschwein===
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| {{Box|Sparschwein|Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.|Arbeitsmethode}}
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div>
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| <div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div>
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| </div>
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| <br>
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">1. Möglichkeit:<br> Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.<br>
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| K = 1000€; p% = 5% = 0,05
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| {{(!}} class=wikitable
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| {{!-}}
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| {{!}} Jahre
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| {{!}} Guthaben(€)
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| {{!-}}
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| {{!}} 0
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| {{!}} 1000
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| {{!-}}
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| {{!}} 1
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| {{!}} 1050
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| {{!-}}
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| {{!}} 2
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| {{!}} 1100
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| {{!-}}
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| {{!}} 3
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| {{!}} 1150
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| {{!-}}
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| {{!}} ...
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| {{!}} ...
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| {{!-}}
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| {{!}} 18
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| {{!}} ...
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| {{!)}}
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| </div>
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| <div class="width-1-2">2. Möglichkeit: <br>Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.<br>
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| K = 1000€; p% = 5% = 0,05<br>
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| {{(!}} class=wikitable
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| {{!-}}
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| {{!}} Jahre
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| {{!}} Guthaben(€)
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| {{!-}}
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| {{!}} 0
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| {{!}} 1000
| |
| {{!-}}
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| {{!}} 1
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| {{!}} 1050
| |
| {{!-}}
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| {{!}} 2
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| {{!}} 1102,50
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| {{!-}}
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| {{!}} 3
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| {{!}} 1157,625
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| {{!-}}
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| {{!}} ...
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| {{!}} ...
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| {{!-}}
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| {{!}} 18
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| {{!}} ...
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| {{!)}}
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| </div>
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| </div>
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| Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02<br>
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| {{#ev:youtube|RPFoUkR9PvA|800|center|||start=160&end=210}}
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| <br>
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| Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
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| <div class="grid">
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| <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
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| K<sub>18</sub> = ...</div>
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| <div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
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| K<sub>18</sub> = ...</div>
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| </div>
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| <br>
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| {{Box|Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins|Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.<br>
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| Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals. <br>
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| blau: einfache Verzinsung<br>
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| rot: Zinseszins<br>
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| Was fällt dir auf?|Arbeitsmethode}}
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| <ggb_applet id="prrakbnx" width="900" height="700" border="888888" />
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| <small>nach Pöchtrager
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| </small>
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| <br>
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| {{Box|1=Hefteintrag: Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
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| Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
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| '''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br>
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| <br>
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| '''= K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> mit q = 1+p%'''</big>'''<br>
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| <br>
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| Beispiel:<br>
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| geg: K<sub>0</sub> = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre<br>
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| ges: K<sub>n</sub> (Kapital nach n Jahren)<br>
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| <br>
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| K<sub>18</sub> = 1000 ∙ 1,05<sup>18</sup><br>
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| = 2406,62 (€)<br>
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| Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br>
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| [[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
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| {{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=132&end=193}}|Video zum Zusammenhang zwischen p% und q (bei Bedarf)|Verbergen}}
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| <br>
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| Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
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| <br>
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| {{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
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| {{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}}
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| {{LearningApp|app=17053537|width=100%|heigth=600px}}
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| {{LearningApp|app=pkh0gh44521|width=100%|heigth=600px}}
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| {{LearningApp|app=|width=100%|heigth=600px}}
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| ==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor==
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| {{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br>
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| Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um'''''' 5%'''. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br>
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| Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br>
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| Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br>
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| q = 100% + p%<br>
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| Das neue Kapital/den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br>
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| K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> · q oder <br>
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| W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| {{LearningApp|app=17054417|width=100%|heigth=600px}}
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| {{LearningApp|app=p4md60yua21|width=100%|height=600px}}
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| <br>
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| Beispiele<br>
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| 1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.<br>
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| Geg: W<sub>0</sub> = 550; Wachstumsrate p% = 8% <br>
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| Ges: W<sub>1</sub> ; q<br>
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| Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.<br>
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| Wachstumsfaktor q q = 1 + p% <br>
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| Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:<br>
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| W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q <br>
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| W<sub>1</sub>= 550 ∙ 1,08<br>
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| = 594 (Schüler)<br>
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| Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.<br>
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| 2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2017 bis 2018 von 540 auf 567. Bestimme die Wachstumsrate.<br>
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| Geg: W<sub>0</sub> = 540; W<sub>1</sub> = 567<br>
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| Ges: p% Wachstumsrate<br>
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| Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br>
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| Wachstumsrate: p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math> = <math>\tfrac{567 - 540}{540}</math> = 0,05 = 5%<br>
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| Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math> = <math>\tfrac{567}{540}</math> = 1,05 (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)<br>
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| oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)<br>
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| IDEE LearningApp mit Anwendungsaufgaben zur Bestimmung von p% und q (noch erstellen!)<br>
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| ==3 Exponentielles Wachstum==
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| {{Box|1=Einstieg: Weltbevölkerung|2=[[Datei:Person-2829500 1920.png|rechts|rahmenlos]]Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. <br>Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125<br>
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| Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde?<br>
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| Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph)<br>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Tipp Wertetabelle.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|1=Prognose für das Jahr 2030: n = 11<br>
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| W<sub>11</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q<sup>11</sup><br>
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| = 7,70 ∙ 1,025<sup>11</sup>
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| ≈8,83|2=Tipp zur Funktionsgleichung|3=Verbergen}}
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| {{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Entwicklung Graph.png|rahmenlos|506x506px]]|Tipp zum Funktionsgraphen|Verbergen}}
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| {{Box|1=Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung|2=Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt.<br>
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| Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit<br>
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| '''<big>W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup></big>''', <br>
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| wobei q der Wachstumsfaktor ist. q = 1+p% (Zunahmen) bzw.q=1-p%(Abnahme)<br>
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| |3=Arbeitsmethode}}
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| <br>
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| Die Gleichung W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup> heißt <u>Exponentialgleichung</u>, da die Variable n im Exponenten steht.
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| {{LearningApp|app=17257009|width=100%|heigth=600px}}
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| {{LearningApp|app=pt24sz44316|width=100%|heigth=600px}}
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| {{LearningApp|app=17256599|width=100%|heigth=600px}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 1: Erdbevölkerung|...(Anwendung, Wn gesucht)|Üben}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel|...(Anwendung W0 gesucht)|Üben}}
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| {{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 3|...(Anwendung q gesucht)|Üben}}
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| {{Box|Anwendungsaufgabe 4|...(Anwendung n gesucht)|Üben}}
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| ÜBUNGSAUFGABEN ERGÄNZEN
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| *Formel umstellen
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| *Verdopplungszeit (Bakterien)
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| <ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" />
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| Applet von Hegius, R. Schürz
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| *Halbwertszeit (Atome)
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| <ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" />
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| Applet von Hegius, R. Schürz
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| ==4 Die Exponentialfunktion==
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| {{Box|1=Exponentialfunktion|2=Die Funktion mit der Gleichung f(x) = c∙ax heißt Exponentialfunktion.<br>|3=Arbeitsmethode}}
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| {{Box|1=Eigenschaften der Exponentialfunktion|2=Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion f(x) = c∙ax .<br>
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| Wähle zunächst c=1. Wie verläuft der Graph der Funktion? Löse den Lückentext und übertrage ihn in dein Heft.|3=Üben}}
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| <ggb_applet id="zu79dqkp" width="1262" height="571" border="888888" />
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| Applet von Ralf Wagner
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| <div class="lueckentext-quiz">
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| Der Graph verläuft immer '''oberhalb''' der x-Achse.<br>
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| Der Graph geht immer durch den Punkt '''(0|1)'''.<br>
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| Für a>1 '''steigt''' der Graph (Zunahme),<br>
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| für 0<a<1 '''fällt''' der Graph (Abnahme).</div>
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