Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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SEITE IM AUFBAU, NUR IDEENSAMMLUNG!!
{{Fortsetzung|vorher=zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule|vorherlink=Herta-Lebenstein-Realschule}}


[[Datei:Schullogo HLR.jpg|rechts|rahmenlos|80x80px]]
{{Navigation|[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion|Vorwissen]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum| 1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum|2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor ]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum|3) Exponentielles Wachstum]]<br>[[Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion|4) Die Exponentialfunktion]]}}
<br>
{{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad  lernst du
{{Box|Exponentialfunktion|In diesem Lernpfad  lernst du
* was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet
* was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet
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* was eine Exponentialfunktion ist
* was eine Exponentialfunktion ist
* Anwendungen zur Exponentialfunktion kennen
* Anwendungen zur Exponentialfunktion kennen
Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differe nzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}}
Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag|Lernpfad}}
Der Lernpfad nutzt als Grundlage das Buch "Schnittpunkt Mathematik 10 - Differenzierende Ausgabe" aus dem Klett-Verlag.
 


Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen:
Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen:


6
berechnen.


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
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{{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=150px}}
{{LearningApp|app=11309986|width=100%|height=150px}}
|-
|-
| - den vermehrten bzw. verminderten Prozentsatz und Prozentwert berechnen.
| - den vermehrten bzw. verminderten Prozentsatz und Grundwert berechnen.
|Nr. 3
|Nr. 3
|{{#ev:youtube|RAKS6Iad9lQ|200}}{{#ev:youtube|gq0clIHMgiY|200}}{{#ev:youtube|vQAjV3g8Frw|200}}
|{{#ev:youtube|RAKS6Iad9lQ|200}}{{#ev:youtube|gq0clIHMgiY|200}}{{#ev:youtube|vQAjV3g8Frw|200}}
{{LearningApp|app=p4oz355ra20|width=100%|height=100px}}{{LearningApp|app=pqnvfsxta20|width=100%|height=100px}}
|-
|-
| - mit Potenzen und Wurzeln rechnen
| - mit Potenzen und Wurzeln rechnen
|Nr. 4, 5
|Nr. 4, 5
|{{LearningApp|app=|width=100%|height=150px}}{{LearningApp|app=|width=100%|height=150px}}
|{{LearningApp|app=p09gchx5c19|width=100%|height=150px}}{{LearningApp|app=pbxaqe6ja20|width=100%|height=150px}}
|-
|-
| - lineare Funktionen darstellen (Text, Wertetabelle, Geichung, Graph)
| - lineare und quadratische Funktionen darstellen (Text, Wertetabelle, Geichung, Graph)
|Nr. 6, 7
|Nr. 6, 7
|{{LearningApp|app=|width=100%|height=300px}}
|{{LearningApp|app=parhhe1zt20|width=100%|height=150px}}
{{LearningApp|app=ph9posdfa19|width=100%|height=150px}}
|-
|-
|}
|}
zu.
Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!
Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!


{{Fortsetzung|weiter=1) Wachstum und Abnahme|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum}}
{{Fortsetzung|weiter=1) Wachstum und Abnahme|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum}}
{{Box|Wachstum und Abnahme|Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.<br>
Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?|Meinung}}
{{Lösung versteckt|Mögliche Antworten:<br>
* Bevölkerungswachstum
* Bakterienwachstum
* Haarwachstum
* Druckzunahme je nach Meerestiefe
* Temperaturanstieg
* Sprunghöhe Flummi
* Zerfall von Bierschaum
* Kerzenhöhe je nach Dauer
* Lichtintensität
* Wertverlust bei Neuwagen|Mögliche Anworten|Verbergen}}
==1 Lineares und exponentielles Wachstum==
Sparmodell (vgl. Zinseszins)
Erinnerung: Sparmodelle
===1) Einstieg: Sparschwein===
{{Box|Sparschwein|Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.|Arbeitsmethode}}
<div class="grid">
<div class="width-1-6">[[Datei:Moneybox-158346_1280.png|alternativtext=|rahmenlos|171x171px]]</div>
<div class="width-5-6">Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.</div>
</div>
<br>
<div class="grid">
<div class="width-1-2">1. Möglichkeit:<br> Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.<br>
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Jahre
{{!}} Guthaben(€)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 1000
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 1050
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 1100
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} 1150
{{!-}}
{{!}} ...
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} 18
{{!}} ...
{{!)}}
</div>
<div class="width-1-2">2. Möglichkeit: <br>Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.<br>
K = 1000€; p% = 5% = 0,05<br>
{{(!}} class=wikitable
{{!-}}
{{!}} Jahre
{{!}} Guthaben(€)
{{!-}}
{{!}} 0
{{!}} 1000
{{!-}}
{{!}} 1
{{!}} 1050
{{!-}}
{{!}} 2
{{!}} 1102,50
{{!-}}
{{!}} 3
{{!}} 1157,625
{{!-}}
{{!}} ...
{{!}} ...
{{!-}}
{{!}} 18
{{!}} ...
{{!)}}
</div>
</div>
Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02<br>
{{#ev:youtube|RPFoUkR9PvA|800|center|||start=160&end=210}}
<br>
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
<div class="grid">
<div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
K<sub>18</sub> = ...</div>
<div class="width-1-2">Kapital nach 18 Jahren:<br>
K<sub>18</sub> = ...</div>
</div>
<br>
{{Box|Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins|Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.<br>
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals. <br>
blau: einfache Verzinsung<br>
rot: Zinseszins<br>
Was fällt dir auf?|Arbeitsmethode}}
<ggb_applet id="prrakbnx" width="900" height="700" border="888888" />
<small>nach Pöchtrager
</small>
<br>
{{Box|1=Hefteintrag: Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden  in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br>
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br>
'''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br>
<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;'''= K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; mit q = 1+p%'''</big>'''<br>
<br>
Beispiel:<br>
geg: K<sub>0</sub> = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre<br>
ges: K<sub>n</sub> (Kapital nach n Jahren)<br>
<br>
K<sub>18</sub> = 1000 ∙ 1,05<sup>18</sup><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 2406,62 (€)<br>
Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):<br>
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=132&end=193}}|Video zum Zusammenhang zwischen p% und q (bei Bedarf)|Verbergen}}
<br>
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
<br>
{{Box|Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum|Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die nachfolgenden LearningApps.|Üben}}
{{LearningApp|app=16929218|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17053537|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=pkh0gh44521|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=|width=100%|heigth=600px}}
==2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor==
{{Box|1=Wachstumsrate und Wachstumsfaktor|2=Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz '''Wachstumsrate p%'''.<br>
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr '''um'''''' 5%'''. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.<br>
Das Kapital wächst also '''auf das 1,05-Fache'''.<br>
Dies ist der''' Wachstumsfaktor q '''= 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:<br>
q = 100% + p%<br>
Das neue Kapital/den neuen Wert W<sub>1</sub> berechnest du also mit der Gleichung:<br>
K<sub>1</sub> = K<sub>0</sub> · q  oder <br>
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> · q|3=Arbeitsmethode}}
<br>
{{LearningApp|app=17054417|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=p4md60yua21|width=100%|height=600px}}
<br>
Beispiele<br>
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.<br>
Geg: W<sub>0</sub> = 550; Wachstumsrate p% = 8% <br>
Ges: W<sub>1</sub> ; q<br>
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.<br>
Wachstumsfaktor q     &nbsp;&nbsp;&nbsp;     q = 1 + p%    <br>           
Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:<br>
W<sub>1</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q              <br>
W<sub>1</sub>= 550 ∙ 1,08<br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 594 (Schüler)<br>
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.<br>
2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2017 bis 2018 von 540 auf 567. Bestimme die Wachstumsrate.<br>
Geg: W<sub>0</sub> = 540; W<sub>1</sub> = 567<br>
Ges: p% Wachstumsrate<br>
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:<br>
Wachstumsrate:     p% = <math>\tfrac{W_1 - W_0}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{567 - 540}{540}</math> = 0,05 = 5%<br>
Wachstumsfaktor: q = <math>\tfrac{W_1}{W_0}</math>  = <math>\tfrac{567}{540}</math> = 1,05        (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)<br>
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)<br>
IDEE LearningApp mit Anwendungsaufgaben zur Bestimmung von p% und q (noch erstellen!)<br>
==3 Exponentielles Wachstum==
{{Box|1=Einstieg: Weltbevölkerung|2=[[Datei:Person-2829500 1920.png|rechts|rahmenlos]]Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. <br>Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125<br>
Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde?<br>
Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph)<br>
|3=Arbeitsmethode}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Tipp Wertetabelle.png|rahmenlos|600x600px]]|Tipp zur Wertetabelle|Verbergen}}
{{Lösung versteckt|1=Prognose für das Jahr 2030: n = 11<br>
W<sub>11</sub> = W<sub>0</sub> ∙ q<sup>11</sup><br>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;= 7,70 ∙ 1,025<sup>11</sup>
&nbsp;&nbsp;&nbsp;≈8,83|2=Tipp zur Funktionsgleichung|3=Verbergen}}
{{Lösung versteckt|[[Datei:Weltbevölkerung Entwicklung Graph.png|rahmenlos|506x506px]]|Tipp zum Funktionsgraphen|Verbergen}}
{{Box|1=Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung|2=Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt.<br>
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit<br>
'''<big>W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup></big>''', <br>
wobei q der Wachstumsfaktor ist. q = 1+p% (Zunahmen) bzw.q=1-p%(Abnahme)<br>
|3=Arbeitsmethode}}
<br>
Die Gleichung W<sub>n</sub> = W<sub>0</sub> · q<sup>n</sup> heißt <u>Exponentialgleichung</u>, da die Variable n im Exponenten steht.
{{LearningApp|app=17257009|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=pt24sz44316|width=100%|heigth=600px}}
{{LearningApp|app=17256599|width=100%|heigth=600px}}
{{Box|Anwendungsaufgabe 1: Erdbevölkerung|...(Anwendung, Wn gesucht)|Üben}}
{{Box|Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel|...(Anwendung W0 gesucht)|Üben}}
{{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}}
{{Box|Anwendungsaufgabe 3|...(Anwendung q gesucht)|Üben}}
{{Box|Anwendungsaufgabe 4|...(Anwendung n gesucht)|Üben}}
ÜBUNGSAUFGABEN ERGÄNZEN
*Formel umstellen
*Verdopplungszeit (Bakterien)
<ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz
*Halbwertszeit (Atome)
<ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" />
Applet von Hegius, R. Schürz
==4 Die Exponentialfunktion==
{{Box|1=Exponentialfunktion|2=Die Funktion mit der Gleichung f(x) = c∙ax heißt Exponentialfunktion.<br>|3=Arbeitsmethode}}
{{Box|1=Eigenschaften der Exponentialfunktion|2=Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion f(x) = c∙ax .<br>
Wähle zunächst c=1. Wie verläuft der Graph der Funktion? Löse den Lückentext und übertrage ihn in dein Heft.|3=Üben}}
<ggb_applet id="zu79dqkp" width="1262" height="571" border="888888" />
Applet von Ralf Wagner
<div class="lueckentext-quiz">
Der Graph verläuft immer '''oberhalb''' der x-Achse.<br>
Der Graph geht immer durch den Punkt '''(0|1)'''.<br>
Für a>1 '''steigt''' der Graph (Zunahme),<br>
für 0<a<1 '''fällt''' der Graph (Abnahme).</div>

Aktuelle Version vom 9. Oktober 2022, 16:52 Uhr

Schullogo HLR.jpg


Exponentialfunktion

In diesem Lernpfad lernst du

  • was exponentielles Wachstum bzw. exponentielle Abnahme bedeutet
  • worin sich lineares und exponentielles Wachstum unterscheiden
  • was eine Exponentialfunktion ist
  • Anwendungen zur Exponentialfunktion kennen
Die Übungen beziehen sich auf das Buch: Schnittpunkt Mathematik 10 Differenzierende Ausgabe - Klett-Verlag


Damit du erfolgreich ins Thema Körper einsteigen kannst, solltest du folgendes Vorwissen besitzen:


Ich kann ... Buch S. 66 Übungen online
- Prozente in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt Nr. 1

- den Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert berechnen. Nr. 2


- den vermehrten bzw. verminderten Prozentsatz und Grundwert berechnen. Nr. 3

- mit Potenzen und Wurzeln rechnen Nr. 4, 5

- lineare und quadratische Funktionen darstellen (Text, Wertetabelle, Geichung, Graph) Nr. 6, 7


Vergleiche deine Lösungen mit den Lösungen hinten im Buch!