Benutzer:Ansgar WWU-6/Anwendungsaufgaben

Anwendungsaufgaben

Aufgabe: Elternsprechtag

Datei:Parking-825371 1920.jpg

Zweimal pro Schuljahr veranstaltet die Gesamtschule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Da der Schule nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung steht, muss die Schulleitung rechtzeitig planen, ob zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen. Dieses Jahr stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Es wird davon ausgegangen, dass um Punkt 12 Uhr noch keine Parkplätze belegt sind und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto vom Parkplatz gefahren ist. Eine Stunde nach Beginn des Elternsprechtags sind bereits 25 Parklätze besetzt.

a) Die Anzahl belegter Parkplätze in Abhängigkeit zur Uhrzeit (in Stunden) lässt sich durch eine Parabel $f(x) = ax^2 + bx + c$ beschreiben.Stelle die Gleichung von $f$ auf.

Um die drei Unbekannten $a$, $b$ und$c$ eindeutig zu bestimmen, benötigst du drei Bedingungen aus den Informationen.

$f(0) = 0$, $f(1) = 25$, $f(6)=0$

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& ax^2 + bx + c \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& c &=& 0 \\ \end{array}$



$\Rightarrow f(x) = ax^2 + bx$



$\begin{array}{rlll} &&f(1) &=& 25 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 1^2 + b \cdot 1 &=& 25 \\ &\Leftrightarrow& a + b &=& 25 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(6) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 6^2 + b \cdot 6 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 36a + 6b &=& 0 \\ \end{array}$



Wir nutzen nun das Einsetzungsverfahren, um das Gleichungssystem

$\begin{array}{rlll} &I\quad& a + b &=& 25 \\ &II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\ \end{array}$

zu lösen. Nun lösen wir I nach $a$ um und erhalten

$\begin{array}{rlll} &I\quad& a = 25 - b \\ \end{array}$

Setzen wir diese nun in II ein, so erhalten wir schließlich

$\begin{array}{rlll} &II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 \\ &&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\ &&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\ &&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\ &&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\ &&&\Rightarrow& b &=& 30 \\ \end{array}$

Setzen wir $b = 30$ wieder in I ein, so erhalten wir schließlich

$\begin{array}{rlll} &I& a = 25 - b = 25 - 30 = -5\\ \end{array}$

und damit insgesamt

$f(x) = -5x^2 + 30x$

b) Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen maximal 50 Parkplätze zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen Hochpunkt mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.

$\begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige Bedingung:}& f'(x) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende Bedingung:}& f''(x) &<& 0 \\ \end{array}$

Um den Zeitpunkt der maximalen Anzahl belegter Parkplätze zu ermitteln, berechnet man den Hochpunkt von $f$.

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& -5x^2 + 30x \\ f'(x) &=& -10x + 30 \\ f''(x) &=& -10 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Notwendige Bedingung:} && f'(x) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& -10x + 30 &=& 0 &\mid + 10x\\ &\Leftrightarrow& 10x &=& 30 &\mid : 10 \\ &\Leftrightarrow& x &=& 3 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende Bedingung:} &&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f''(3) &=& -10 &<& 0 \end{array}$



$f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45$

Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.

c) Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a).

Aufgabe: Virusinfektion

Im Januar 2020 befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

• Im Dezember 2019 befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
• Im April 2020 leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Im August 2020 leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August 2020 rückläufig

a) Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen für das Jahr 2020. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?

Der Graph hat eine Nullstelle bei $x = 0$, er verläuft durch den Punkt $(4 | 2)$ und hat den Hochpunkt $(8 | 4)$

Unterer Graph ist nur eine Möglichkeit einer ungefähren Modellierung der Virusinfektion!

b) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ beschreiben. Stelle die Gleichung von $f$ auf.

Um die vier Unbekannten $a$,$b$,$c$ und $d$ eindeutig zu bestimmen, benötigst du vier Bedingungen aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).

$f(0) = 0$, $f(4) = 2$, $f(8)=4$, $f'(8)=0$

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& ax^3 + bx^2 + cx + d \\ f'(x) &=& 3ax^2 + 2bx + c \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& d &=& 0 \\ \end{array}$



$\Rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$



$\begin{array}{rlll} &&f(4) &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(8) &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f'(8) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array}$





Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{rlll} &I\quad& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ &II\quad& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\ &III\quad& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array}$

Dieses Gleichungssystem lösen wir durch das Gauß-Verfahrens: $II - 8 \cdot I$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ &II\quad& -64b - 24c &=& -12 \\ &III\quad& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array}$



$III\quad - 3 \cdot I\quad$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ &II\quad& -64b - 24c &=& -12 \\ &III\quad& -32b - 11c &=& -6 \\ \end{array}$



$III\quad - \frac{1}{2} \cdot II\quad$

$\begin{array}{rlll} &I\quad& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ &II\quad& -64b - 24c &=& -12 \\ &III\quad& 21c &=& 0 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\ && b &=& \frac{3}{16} \\ && c &=& 0 \\ && d &=& 0 \\ \end{array}$

$\Rightarrow f(x) = -\frac{1}{64} x^3 + \frac{3}{16} x^2 = \frac{1}{64} (-x^3 + 12x^2)$

c) Forscher gehen nun (im Oktober 2020) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine Nullstellen.

Gleichungen, die nur Summanden mit der Variablen enthalten, lassen sich ganz einfach durch Faktorisieren lösen .

$\begin{array}{rlll} &&f(x) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-x^3 + 12x^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\ &\Leftrightarrow& -x^3 + 12x^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\ &\Leftrightarrow& x^2 (-x + 12) &=& 0 \\ &\Rightarrow& x^2 = 0 & \textrm{und}& && -x + 12 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& x_{1} = 0 & \textrm{und}& && x_{2} &=& 12 \\ \end{array}$

Im Dezember 2020 treten keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind.

d) Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

$\begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige Bedingung:}& f''(x) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende Bedingung:}& f'''(x) &\neq& 0 \\ \end{array}$

Um den Zeitpunkt der stärksten Zunahme zu ermitteln, berechnet man den Wendepunkt von $f$.

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& -\frac{1}{64} x^3 + \frac{3}{16} x^2 \\ f'(x) &=& -\frac{3}{64} x^2 + \frac{3}{8} x \\ f''(x) &=& -\frac{3}{32} x + \frac{3}{8} \\ f'''(x) &=& -\frac{3}{32} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Notwendige Bedingung:} && f''(x) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} x + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} x\\ &\Leftrightarrow& \frac{3}{32} x &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\ &\Leftrightarrow& x &=& 4 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende Bedingung:} &&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0 \end{array}$

Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist im April (also im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

e) Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a).