Benutzer:Ansgar WWU-6/Anwendungsaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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a) | a) | ||
Die Anzahl belegter Parkplätze in Abhängigkeit zur Uhrzeit (<math> | Die Anzahl belegter Parkplätze in Abhängigkeit zur Uhrzeit (<math>t</math> in Stunden) lässt sich durch eine Parabel <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=Um die drei Unbekannten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''drei Bedingungen''' aus den Informationen.|2=Hinweis |3=Hinweis ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Um die drei Unbekannten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''drei Bedingungen''' aus den Informationen.|2=Hinweis |3=Hinweis ausblenden}} | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
f( | f(t) &=& at^2 + bt + c \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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<br /><br /> | <br /><br /> | ||
<math> | <math> | ||
\Rightarrow f( | \Rightarrow f(t) = at^2 + bt | ||
</math> | </math> | ||
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und damit insgesamt | und damit insgesamt | ||
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<math>f( | <math>f(t) = -5t^2 + 30t</math> | ||
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}} | |2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}} | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\textrm{notwendige Bedingung:}& f'( | &\textrm{notwendige Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\ | ||
&\textrm{hinreichende Bedingung:}& f''( | &\textrm{hinreichende Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
f( | f(t) &=& -5t^2 + 30t \\ | ||
f'( | f'(t) &=& -10t + 30 \\ | ||
f''( | f''(t) &=& -10 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
\textrm{Notwendige Bedingung:} | \textrm{Notwendige Bedingung:} | ||
&& f'( | && f'(t) &=& 0 \\ | ||
&\Leftrightarrow& - | &\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& t &=& 3 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 195: | Zeile 195: | ||
{{Lösung versteckt|1=Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Der Graph hat eine '''Nullstelle bei <math> | {{Lösung versteckt|1=Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine '''Nullstelle bei <math>t = 0</math>''', er verläuft durch den Punkt '''<math>(4 | 2)</math>''' und hat den '''Hochpunkt <math>(8 | 4)</math>'''|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Unterer Graph ist nur '''eine Möglichkeit''' einer ''ungefähren'' Modellierung der Virusinfektion![[Datei:Graph a.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Unterer Graph ist nur '''eine Möglichkeit''' einer ''ungefähren'' Modellierung der Virusinfektion![[Datei:Graph a.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
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b) | b) | ||
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f( | Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf. | ||
{{Lösung versteckt|1=Um die vier Unbekannten <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> und <math>d</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''vier Bedingungen''' aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).|2=Hinweis |3=Hinweis ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Um die vier Unbekannten <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> und <math>d</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''vier Bedingungen''' aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).|2=Hinweis |3=Hinweis ausblenden}} | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
f( | f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\ | ||
f'( | f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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<math> | <math> | ||
\Rightarrow f( | \Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct | ||
</math> | </math> | ||
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<math> | <math> | ||
\Rightarrow f( | \Rightarrow f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) | ||
</math>|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}} | </math>|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}} | ||
Zeile 347: | Zeile 347: | ||
{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math> | {{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=<math> | {{Lösung versteckt|1=<math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&&f( | &&f(t) &=& 0 \\ | ||
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (- | &\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\ | ||
&\Leftrightarrow& - | &\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\ | ||
&\Rightarrow& | &\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 373: | Zeile 373: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\textrm{notwendige Bedingung:}& f''( | &\textrm{notwendige Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\ | ||
&\textrm{hinreichende Bedingung:}& f'''( | &\textrm{hinreichende Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 383: | Zeile 383: | ||
<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
f( | f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\ | ||
f'( | f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\ | ||
f''( | f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\ | ||
f'''( | f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
Zeile 394: | Zeile 394: | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
\textrm{Notwendige Bedingung:} | \textrm{Notwendige Bedingung:} | ||
&& f''( | && f''(t) &=& 0 \\ | ||
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} | &\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\ | ||
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} | &\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\ | ||
&\Leftrightarrow& | &\Leftrightarrow& t &=& 4 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> |
Version vom 13. April 2020, 11:23 Uhr
Anwendungsaufgaben