Benutzer:Ansgar WWU-6/Anwendungsaufgaben

Anwendungsaufgaben

Aufgabe: Mathematische Modellierung einer Virusinfektion

Im Januar 2020 befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

• Im Dezember 2019 befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
• Im April 2020 leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Im August 2020 leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
• Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August 2020 rückläufig

a) Trage alle relevanten Informationen in ein geeignetes Koordinatensystem ein und skizziere einen möglichen Graphen für das Jahr 2020. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?

Der Graph hat eine Nullstelle bei $x = 0$, er verläuft durch den Punkt $(4 | 2)$ und hat den Hochpunkt $(8 | 4)$

Unterer Graph ist nur eine Möglichkeit einer ungefähren Modellierung der Virusinfektion!

b) Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ beschreiben. Stelle die Gleichung von $f$ auf.

Um die vier Unbekannten $a$,$b$,$c$ und $d$ eindeutig zu bestimmen, benötigst du vier Bedingungen aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).

$f(0) = 0$, $f(4) = 2$, $f(8)=4$, $f'(8)=0$

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& ax^3 + bx^2 + cx + d \\ f'(x) &=& 3ax^2 + 2bx + c \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(0) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 0^3 + b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + d &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& d &=& 0 \\ \end{array}$



$\Rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$



$\begin{array}{rlll} &&f(4) &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 4^3 + b \cdot 4^2 + c \cdot 4 &=& 2 \\ &\Leftrightarrow& 64a + 16b + 4c &=& 2 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f(8) &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& a \cdot 8^3 + b \cdot 8^2 + c \cdot 8 &=& 4 \\ &\Leftrightarrow& 512a + 64b + 8c &=& 4 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &&f'(8) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 3a \cdot 8^2 + 2b \cdot 8 + c &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& 192a + 16b + c &=& 0 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} &\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\ && b &=& \frac{3}{16} \\ && c &=& 0 \\ && d &=& 0 \\ \end{array}$

$\Rightarrow f(x) = -\frac{1}{64} x^3 + \frac{3}{16} x^2 = \frac{1}{64} (-x^3 + 12x^2)$

c) Forscher gehen nun (im Oktober 2020) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine Nullstellen.

Gleichungen, die nur Summanden mit der Variablen enthalten, lassen sich ganz einfach durch Faktorisieren lösen .

$\begin{array}{rlll} &&f(x) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& \frac{1}{64} (-x^3 + 12x^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\ &\Leftrightarrow& -x^3 + 12x^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\ &\Leftrightarrow& x^2 (-x + 12) &=& 0 \\ &\Rightarrow& x^2 = 0 & \textrm{und}& && -x + 12 &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& x_{1} = 0 & \textrm{und}& && x_{2} &=& 12 \\ \end{array}$

Im Dezember 2020 treten keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind.

d) Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

$\begin{array}{rlll} &\textrm{notwendige Bedingung:}& f''(x) &=& 0 \\ &\textrm{hinreichende Bedingung:}& f'''(x) &\neq& 0 \\ \end{array}$

Um den Zeitpunkt der stärksten Zunahme zu ermitteln, berechnet man den Wendepunkt von $f$.

$\begin{array}{rlll} f(x) &=& -\frac{1}{64} x^3 + \frac{3}{16} x^2 \\ f'(x) &=& -\frac{3}{64} x^2 + \frac{3}{8} x \\ f''(x) &=& -\frac{3}{32} x + \frac{3}{8} \\ f'''(x) &=& -\frac{3}{32} \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} \textrm{Notwendige Bedingung:} && f''(x) &=& 0 \\ &\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} x + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} x\\ &\Leftrightarrow& \frac{3}{32} x &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\ &\Leftrightarrow& x &=& 4 \\ \end{array}$



$\begin{array}{rlll} \textrm{Hinreichende Bedingung:} &&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\ &&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0 \end{array}$

Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist im April (also im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.

e) Skizziere nun den Graphen von $f$ anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a).