Benutzer:Ansgar WWU-6/Anwendungsaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen

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====Anwendungsaufgaben====
====Anwendungsaufgaben====


{{Box|1= <span style="color: blue">Aufgabe: Elternsprechtag</span>|2=


[[Datei:Parking-825371 1920.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]
{{Box|1= <span style="color: blau">Aufgabe: Elternsprechtag</span>|2=


Zweimal pro Schuljahr veranstaltet die Gesamtschule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Da der Schule nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung steht, muss die Schulleitung rechtzeitig planen, ob zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen. Dieses Jahr stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Es wird davon ausgegangen, dass um Punkt 12 Uhr noch keine Parkplätze belegt sind und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto vom Parkplatz gefahren ist. Eine Stunde nach Beginn des Elternsprechtags sind bereits 25 Parklätze besetzt.  
[[Datei:Parking-825371 1920.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]


Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat.
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.




a)
Anzahl belegter Parkplätze in Abhängigkeit zur Uhrzeit (in Stunden) lässt sich durch eine Parabel <math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> beschreiben.Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.


{{Lösung versteckt|1=Um die drei Unbekannten <math>a</math>,<math>b</math> und<math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''drei Bedingungen''' aus den Informationen.|2=Hinweis |3=Hinweis ausblenden}}  
 
 
 
 
a)
<br /><br />
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext und stelle anschließend mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf.
 
 
<div class="lueckentext-quiz">
Um die drei Unbekannten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigt man '''drei Bedingungen''' aus den Informationen.
Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine '''Nullstelle''' bei <math>t=0</math>. Demnach ist die erste Bedingung '''<math forcemathmode="png">f ( 0 ) = 0</math>'''. Er verläuft außerdem durch den Punkt <math>(1 | 25)</math>, sodass die zweite Bedingung '''<math forcemathmode="png">f ( 1 ) = 25</math>''' ist. Bei '''<math forcemathmode="png">t = 6</math>''' hat der Graph eine weitere Nullstelle und deshalb ist die dritte Bedingung '''<math forcemathmode="png">f ( 6 ) = 0</math>'''.
</div>
 
{{Lösung versteckt|1=Um die drei Unbekannten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''drei Bedingungen''' aus den Informationen.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|1=Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine '''Nullstelle bei <math>t = 0</math>''', er verläuft durch den Punkt '''<math>(1 | 25)</math>''' und hat eine weitere '''Nullstelle bei <math>t = 6</math>'''|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}}  


{{Lösung versteckt|1=<math>f(0) = 0</math>, <math>f(1) = 25</math>, <math>f(6)=0</math> |2=Lösung 1 (Bedingungen)|3=Lösung 1 (Bedingungen) ausblenden}}  
{{Lösung versteckt|1=<math>f(0) = 0</math>, <math>f(1) = 25</math>, <math>f(6)=0</math> |2=Lösung 1 (Bedingungen)|3=Lösung 1 (Bedingungen) ausblenden}}  


{{Lösung versteckt|1= <br /><br />  
{{Lösung versteckt|1=
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
f(x) &=& ax^2 + bx + c \\
f(t) &=& at^2 + bt + c \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Zeile 34: Zeile 52:
<br /><br />  
<br /><br />  
<math>
<math>
\Rightarrow f(x) = ax^2 + bx
\Rightarrow f(t) = at^2 + bt
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
Zeile 55: Zeile 73:
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />  
<br /><br />
Wir nutzen nun das '''Einsetzungsverfahren''', um das Gleichungssystem
<br /><br />
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
<br /><br />
<br /><br />
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
a + b &=& 25 \\
&I\quad& a + b &=& 25 \\
36a + 6b &=& 0 \\
&II\quad& 36a + 6b &=& 0 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
zu lösen. Die erste Gleichung lösen wir nach <math>a</math> um und erhalten
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Einsetzungsverfahren''':
<br /><br />
Als erstes stellen wir Gleichung <math>I</math> nach <math>a</math> um und erhalten
<br /><br />
<br /><br />
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
a &=& 25 - b \\
&I\quad& a = 25 - b \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
Setzen wir diese nun in die zweite Gleichung ein, so erhalten wir schließlich
Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung <math>I</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
<br /><br />
<br /><br />
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
&& 36a + 6b &=& 0 \\
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\
&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\
&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\
&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&&&\Rightarrow& 900 - 30b &=& 0 &\mid + 30b \\
&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&&&\Rightarrow& 30b &=& 900 &\mid : 30 \\
&\Rightarrow& b &=& 30 \\
&&&\Rightarrow& b &=& 30 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
Setzen wir <math>b = 30</math> wieder in die erste Gleichung ein, so erhalten wir schließlich
Setzen wir <math>b = 30</math> in die (umgeformte) Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
<br /><br />
<br /><br />
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
a = 25 - b = 25 - 30 = -5\\
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />
und damit insgesamt
<br /><br />
<math>f(t) = -5t^2 + 30t</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}


|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}  
b)
<br /><br />
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.
 
{{Lösung versteckt|1=Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen '''maximal 50 Parkplätze''' zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen '''Hochpunkt''' mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\
\end{array}
</math>
|2=Hinweis 2 |3=Hinweis 2 ausblenden}}


{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat den '''Hochpunkt <math>(3 | 45)</math>'''. Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.


{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
f(t) &=& -5t^2 + 30t \\
f'(t) &=& -10t + 30 \\
f''(t) &=& -10 \\
\end{array}
</math>




<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
&& f'(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -10t + 30 &=& 0 &\mid + 10t\\
&\Leftrightarrow& 10t &=& 30 &\mid : 10 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 3 \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
&&f'(3) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(3) &=& -10 &<& 0
\end{array}
</math>
<br /><br />
<br /><br />
<math>f(3)=-5 \cdot 3^2 + 30 \cdot 3 = 45</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}


|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}






|3= Arbeitsmethode}}
c)
<br /><br />
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.


{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


|3= Arbeitsmethode}}




Zeile 116: Zeile 197:
[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]
[[Datei:Rabies Virus.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]]


Im Januar 2020 befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:
Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:


*Im Dezember 2019 befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
*Im April 2020 leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August 2020 leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August 2020 rückläufig
*Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig




Zeile 130: Zeile 211:


a)  
a)  
Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen für das Jahr 2020. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.
<br /><br />
Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.


{{Lösung versteckt|1=Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}}
{{Lösung versteckt|1=Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}}


{{Lösung versteckt|1=Der Graph hat eine '''Nullstelle bei <math>x = 0</math>''', er verläuft durch den Punkt '''<math>(4 | 2)</math>''' und hat den '''Hochpunkt <math>(8 | 4)</math>'''|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}}  
{{Lösung versteckt|1=Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine '''Nullstelle bei <math>t = 0</math>''', er verläuft durch den Punkt '''<math>(4 | 2)</math>''' und hat den '''Hochpunkt <math>(8 | 4)</math>'''|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}}
 
{{Lösung versteckt|1=Unterer Graph ist nur '''eine Möglichkeit''' einer ''ungefähren'' Modellierung der Virusinfektion!
<br /><br />
[[Datei:Graph a.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


{{Lösung versteckt|1=Unterer Graph ist nur '''eine Möglichkeit''' einer ''ungefähren'' Modellierung der Virusinfektion![[Datei:Graph a.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}




b)  
b)  
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.
<br /><br />
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf.


{{Lösung versteckt|1=Um die vier Unbekannten <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> und <math>d</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''vier Bedingungen''' aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).|2=Hinweis |3=Hinweis ausblenden}}  
{{Lösung versteckt|1=Um die vier Unbekannten <math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math> und <math>d</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''vier Bedingungen''' aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).|2=Hinweis |3=Hinweis ausblenden}}  
Zeile 146: Zeile 232:
{{Lösung versteckt|1=<math>f(0) = 0</math>, <math>f(4) = 2</math>, <math>f(8)=4</math>, <math>f'(8)=0</math> |2=Lösung 1 (Bedingungen)|3=Lösung 1 (Bedingungen) ausblenden}}  
{{Lösung versteckt|1=<math>f(0) = 0</math>, <math>f(4) = 2</math>, <math>f(8)=4</math>, <math>f'(8)=0</math> |2=Lösung 1 (Bedingungen)|3=Lösung 1 (Bedingungen) ausblenden}}  


{{Lösung versteckt|1= <br /><br />  
{{Lösung versteckt|1=  
<math>f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64}  (-t^3 + 12t^2)</math>
 
{{Lösung versteckt|1=
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
f(x) &=& ax^3 + bx^2 + cx + d \\
f(t) &=& at^3 + bt^2 + ct + d \\
f'(x) &=& 3ax^2 + 2bx + c \\
f'(t) &=& 3at^2 + 2bt + c \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Zeile 165: Zeile 254:
<br /><br />  
<br /><br />  
<math>
<math>
\Rightarrow f(x) = ax^3 + bx^2 + cx
\Rightarrow f(t) = at^3 + bt^2 + ct
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
Zeile 195: Zeile 284:
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& &512a& + &64b& + &8c& &=& &4& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem '''Gauß-Verfahren''':
<br /><br />
<math>II - 8 \cdot I</math>
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& &192a& + &16b& + &1c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
<br /><br />
<math>III - 3 \cdot I</math>
<br /><br />  
<br /><br />  
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&& b &=& \frac{3}{16} \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&& c &=& 0 \\
&III\quad& && - &32b& - &11c& &=& &-6& \\
&& d &=& 0 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />
<br /><br />
<math>III - \frac{1}{2} \cdot II</math>
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&I\quad& &64a& + &16b& + &4c& &=& &2& \\
&II\quad& && - &64b& - &24c& &=& &-12& \\
&III\quad& && && &21c& &=& &0& \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
<br /><br />
<br /><br />
Gleichung <math>III</math> liefert uns nun
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&III\quad&&& 21c &=& 0 &\mid : 21 \\
&&&\Rightarrow& c &=& 0 \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
Setzen wir <math>c = 0</math> in Gleichung <math>II</math> ein, erhalten wir
<br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\
&&&\Rightarrow& b &=& \frac{3}{16} \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
Setzen wir <math>c = 0</math> und <math>b = \frac{3}{16}</math> in Gleichung <math>I</math> ein, erhalten wir
<br /><br />  
<br /><br />  
<math>
<math>
\Rightarrow f(x) = -\frac{1}{64} x^3 + \frac{3}{16} x^2 = \frac{1}{64}  (-x^3 + 12x^2)
\begin{array}{rlll}
</math>|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}  
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\
&&&\Rightarrow& 64a &=& -1 &\mid : 64 \\
&&&\Rightarrow& a &=& -\frac{1}{64} \\
\end{array}
</math>
<br /><br />
<br /><br />
und damit insgesamt
<br /><br />
<math>
f(t) = -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 = \frac{1}{64}  (-t^3 + 12t^2)
</math>
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}}  






c)  
c)  
Forscher gehen nun (im Oktober 2020) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.
<br /><br />
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.


{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}}  
{{Lösung versteckt|1=Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine '''Nullstellen'''.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}}  


{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variablen enthalten, lassen sich ganz einfach durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}}  
{{Lösung versteckt|1=Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable <math>t</math> enthalten, lassen sich durch '''Faktorisieren''' lösen .|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}}  


{{Lösung versteckt|1=<math>
{{Lösung versteckt|1=
<math>f</math> hat '''Nullstellen bei <math>t_{1} = 0</math> und <math>t_{2} = 12</math>'''. Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.
{{Lösung versteckt|1=
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
&&f(x) &=& 0 \\
&&f(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64}  (-x^3 + 12x^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& \frac{1}{64}  (-t^3 + 12t^2) &=& 0 &\mid :\frac{1}{64} \\
&\Leftrightarrow& -x^3 + 12x^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& -t^3 + 12t^2 &=& 0 &\mid \textrm{Faktorisieren} \\
&\Leftrightarrow& x^2 (-x + 12) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& t^2 (-t + 12) &=& 0 \\
&\Rightarrow& x^2 = 0 & \textrm{und}& && -x + 12 &=& 0 \\
&\Rightarrow& t^2 = 0 & \textrm{und}& && -t + 12 &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& x_{1} = 0 & \textrm{und}& && x_{2} &=& 12 \\
&\Leftrightarrow& t_{1} = 0 & \textrm{und}& && t_{2} &=& 12 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />
|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
Im Dezember 2020 treten keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind.
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}  
|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}  


Zeile 236: Zeile 401:


d)
d)
<br /><br />
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.


Zeile 243: Zeile 409:
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
&\textrm{notwendige Bedingung:}& f''(x) &=& 0 \\
&\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\
&\textrm{hinreichende Bedingung:}& f'''(x) &\neq& 0 \\
&\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
|2=Hinweis 2 |3=Hinweis 2 ausblenden}}
|2=Hinweis 2 |3=Hinweis 2 ausblenden}}


{{Lösung versteckt|1=Um den Zeitpunkt der stärksten Zunahme zu ermitteln, berechnet man den '''Wendepunkt''' von <math>f</math>.
{{Lösung versteckt|1=
Der Graph der Funktion <math>f</math> hat einen '''Wendepunkt bei <math>t = 4</math>'''. Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.


{{Lösung versteckt|1=
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
f(x) &=& -\frac{1}{64} x^3 + \frac{3}{16} x^2 \\
f(t) &=& -\frac{1}{64} t^3 + \frac{3}{16} t^2 \\
f'(x) &=& -\frac{3}{64} x^2 + \frac{3}{8} x \\
f'(t) &=& -\frac{3}{64} t^2 + \frac{3}{8} t \\
f''(x) &=& -\frac{3}{32} x + \frac{3}{8} \\
f''(t) &=& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} \\
f'''(x) &=& -\frac{3}{32} \\
f'''(t) &=& -\frac{3}{32} \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
Zeile 263: Zeile 431:
<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
\textrm{Notwendige Bedingung:}
\textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:}
&& f''(x) &=& 0 \\
&& f''(t) &=& 0 \\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} x + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} x\\
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} x &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& \frac{3}{32} t &=& \frac{3}{8} &\mid :\frac{3}{32} \\
&\Leftrightarrow& x &=& 4 \\
&\Leftrightarrow& t &=& 4 \\
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
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<math>
<math>
\begin{array}{rlll}
\begin{array}{rlll}
\textrm{Hinreichende Bedingung:}
\textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0
\end{array}
\end{array}
</math>
</math>
<br /><br />
Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist im April (also im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.


|2=Möglicher Lösungsweg |3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}
|2=Lösung |3=Lösung ausblenden}}


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e)  
e)  
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a).
<br /><br />
 
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a). Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]
<br /><br />
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}}


|3= Arbeitsmethode}}
|3= Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 14. April 2020, 15:41 Uhr

Anwendungsaufgaben

Aufgabe: Elternsprechtag

Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat. Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist.




a)

Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit in Stunden, wobei 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext und stelle anschließend mit dessen Hilfe die Gleichung von auf.


Um die drei Unbekannten , und eindeutig zu bestimmen, benötigt man drei Bedingungen aus den Informationen. Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine Nullstelle bei . Demnach ist die erste Bedingung . Er verläuft außerdem durch den Punkt , sodass die zweite Bedingung ist. Bei hat der Graph eine weitere Nullstelle und deshalb ist die dritte Bedingung .

Um die drei Unbekannten , und eindeutig zu bestimmen, benötigst du drei Bedingungen aus den Informationen.
Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine Nullstelle bei , er verläuft durch den Punkt und hat eine weitere Nullstelle bei
, ,























Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:



Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Einsetzungsverfahren:

Als erstes stellen wir Gleichung nach um und erhalten



Setzen wir diese (umgeformte) Gleichung in Gleichung ein, erhalten wir



Setzen wir in die (umgeformte) Gleichung ein, erhalten wir



und damit insgesamt


b)

Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen.

Damit die Parkplätze ausreichen, dürfen maximal 50 Parkplätze zu einer bestimmten Uhrzeit belegt sein. Hat die Funktion einen Hochpunkt mit einem Funktionswert kleiner gleich 50, so ist sie nirgendwo größer als dort.

Der Graph der Funktion hat den Hochpunkt . Die maximale Anzahl belegter Parkplätze ist also um 15 Uhr nachzuweisen. Zu der Zeit sind 45 Parkplätze belegt, sodass die vorhandenen 50 Parkplätze ausreichen.











c)

Skizziere nun den Graphen von anhand der Informationen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Graph 1c.png




Aufgabe: Virusinfektion
Rabies Virus.jpg

Im Januar befällt ein neuartiges Virus Deutschland. Mittlerweile ist es Oktober und du suchst im Internet nach Informationen über die Infektionszahlen. Dort triffst du auf folgende Informationen:

  • Im Dezember des Vorjahres befinden sich noch keine infizierten Personen in Deutschland
  • Im April leben 2.000.000 infizierte Personen in Deutschland
  • Im August leben 4.000.000 infizierte Personen in Deutschland
  • Durch entsprechende Maßnahmen ist die Zahl infizierter Personen ab August rückläufig




a)

Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten.

Kann man den Monaten Zahlen zuweisen, um sie entlang einer Achse anzuordnen? Welche Einheit ist für die Anzahl infizierter Personen geeignet?
Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine Nullstelle bei , er verläuft durch den Punkt und hat den Hochpunkt

Unterer Graph ist nur eine Möglichkeit einer ungefähren Modellierung der Virusinfektion!

Graph a.png


b)

Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form beschreiben. Stelle die Gleichung von auf.

Um die vier Unbekannten ,, und eindeutig zu bestimmen, benötigst du vier Bedingungen aus den Informationen. Nutze dafür Teilaufgabe a).
, , ,



























Insgesamt erhalten wir also folgendes Gleichungssystem:



Dieses Gleichungssystem lösen wir mit dem Gauß-Verfahren:



















Gleichung liefert uns nun



Setzen wir in Gleichung ein, erhalten wir



Setzen wir und in Gleichung ein, erhalten wir





und damit insgesamt


c)

Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen.

Zu den Zeitpunkten, zu denen keine infizierten Personen in Deutschland leben, hat der Graph seine Nullstellen.
Gleichungen, die nur Summanden mit der Variable enthalten, lassen sich durch Faktorisieren lösen .

hat Nullstellen bei und . Im Dezember treten also keine infizierten Fälle mehr in Deutschland auf, sodass alle jemals infizierten Personen in Deutschland noch im selben Jahr geheilt sind. Die Vorhersage ist demnach richtig.


d)

Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen.

Der Wendepunkt ist der Punkt der stärksten Zunahme (oder stärksten Abnahme) des Funktionsgraphen, der an dieser Stelle sein Krümmungsverhalten ändert.

Der Graph der Funktion hat einen Wendepunkt bei . Die stärkste Zunahme infizierter Personen ist also im April (bzw. im Frühling) nachzuweisen. Die Behauptung ist demnach richtig.







e)

Skizziere nun den Graphen von anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a). Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet?

Graph e.png



Da die Funktionswerte von für negativ sind, ist der Graph nur für als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet.