Benutzer:Ansgar WWU-6/Anwendungsaufgaben: Unterschied zwischen den Versionen
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====Anwendungsaufgaben==== | ====Anwendungsaufgaben==== | ||
{{Box|1= <span style="color: blau">Aufgabe: Elternsprechtag</span>|2= | |||
[[Datei:Parking-825371 1920.jpg|rechts|rahmenlos|300x300px]] | |||
Jedes halbe Jahr veranstaltet eine Schule einen Elternsprechtag von 12 Uhr bis 18 Uhr. Den Eltern stehen auf dem Lehrerparkplatz aber nur eine begrenzte Anzahl an Parkplätzen zur Verfügung, sodass die Schulleitung rechtzeitig entscheiden muss, ob noch weitere Parkplätze angemietet werden müssen. Sie geht davon aus, dass der erste Parkplatz erst nach Beginn des Elternsprechtages belegt wird und spätestens um 18 Uhr das letzte Auto den Parkplatz verlassen hat. | |||
Diesen Elternsprechtag stehen den Eltern 50 Parkplätze zur Verfügung. Eine Zählung um 13 Uhr ergibt, dass bereits die Hälfte der zur Verfügung stehenden Parkplätze belegt ist. | |||
a) | |||
Die Anzahl belegter Parkplätze in Abhängigkeit zur Uhrzeit (<math>t</math> in Stunden) | |||
a) | |||
<br /><br /> | |||
Die Anzahl belegter Parkplätze lässt sich in Abhängigkeit zur Uhrzeit (mit <math>t</math> in Stunden, wobei <math>t = 0</math> 12 Uhr repräsentiert) durch eine quadratische Funktion der Form <math>f(t) = at^2 + bt + c</math> beschreiben. Löse zunächst unteren Lückentext und stelle anschließend mit dessen Hilfe die Gleichung von <math>f</math> auf. | |||
<div class="lueckentext-quiz"> | |||
Um die drei Unbekannten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigt man '''drei Bedingungen''' aus den Informationen. | |||
Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine '''Nullstelle''' bei <math>t=0</math>. Demnach ist die erste Bedingung '''<math forcemathmode="png">f ( 0 ) = 0</math>'''. Er verläuft außerdem durch den Punkt <math>(1 | 25)</math>, sodass die zweite Bedingung '''<math forcemathmode="png">f ( 1 ) = 25</math>''' ist. Bei '''<math forcemathmode="png">t = 6</math>''' hat der Graph eine weitere Nullstelle und deshalb ist die dritte Bedingung '''<math forcemathmode="png">f ( 6 ) = 0</math>'''. | |||
</div> | |||
{{Lösung versteckt|1=Um die drei Unbekannten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''drei Bedingungen''' aus den Informationen.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Um die drei Unbekannten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> eindeutig zu bestimmen, benötigst du '''drei Bedingungen''' aus den Informationen.|2=Hinweis 1|3=Hinweis 1 ausblenden}} | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \textrm{einsetzen} \\ | &II\quad&&& 36a + 6b &=& 0 &\mid a = 25 - b \, \textrm{einsetzen} \\ | ||
&&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\ | &&&\Rightarrow& 36 \cdot (25 - b) + 6b &=& 0 &\mid \textrm{Ausmultiplizieren} \\ | ||
&&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\ | &&&\Rightarrow& 900 - 36b + 6b &=& 0 \\ | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \textrm{einsetzen} \\ | &I&&& a &=& 25 - b &\mid b = 30 \, \textrm{einsetzen} \\ | ||
&&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\ | &&&\Rightarrow& a &=& 25 - 30 \\ | ||
&&&\Rightarrow& a &=& -5 \\ | &&&\Rightarrow& a &=& -5 \\ | ||
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|2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}} | |2=Möglicher Lösungsweg|3=Möglichen Lösungsweg ausblenden}} | ||
|2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}} | |2=Lösung 2 (Funktionsgleichung)|3=Lösung 2 (Funktionsgleichung) ausblenden}} | ||
b) | b) | ||
<br /><br /> | |||
Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen. | Entscheide, ob die 50 Parkplätze für die gesamte Dauer des Elternsprechtages ausreichend sind oder zusätzliche Parkplätze angemietet werden müssen. | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\textrm{notwendige Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\ | &\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f'(t) &=& 0 \\ | ||
&\textrm{hinreichende Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\ | &\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &<& 0 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
c) | c) | ||
<br /><br /> | |||
Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten. | Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten. | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph 1c.png|zentriert|rahmenlos|600x600px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | ||
|3= Arbeitsmethode}} | |3= Arbeitsmethode}} | ||
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a) | a) | ||
<br /><br /> | |||
Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten. | Stelle alle relevanten Informationen in einem geeigneten Koordinatensystem graphisch dar und skizziere einen möglichen Graphen. Beachte hierbei die geeignete Wahl der Einheiten. | ||
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{{Lösung versteckt|1=Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine '''Nullstelle bei <math>t = 0</math>''', er verläuft durch den Punkt '''<math>(4 | 2)</math>''' und hat den '''Hochpunkt <math>(8 | 4)</math>'''|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Der Graph hat bei entsprechender Wahl der Einheiten eine '''Nullstelle bei <math>t = 0</math>''', er verläuft durch den Punkt '''<math>(4 | 2)</math>''' und hat den '''Hochpunkt <math>(8 | 4)</math>'''|2=Hinweis 2|3=Hinweis 2 ausblenden}} | ||
{{Lösung versteckt|1=Unterer Graph ist nur '''eine Möglichkeit''' einer ''ungefähren'' Modellierung der Virusinfektion![[Datei:Graph a.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | {{Lösung versteckt|1=Unterer Graph ist nur '''eine Möglichkeit''' einer ''ungefähren'' Modellierung der Virusinfektion! | ||
<br /><br /> | |||
[[Datei:Graph a.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]]|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
b) | b) | ||
<br /><br /> | |||
Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf. | Die Anzahl infizierter Personen lässt sich durch eine kubische Funktion der Form <math>f(t) = at^3 + bt^2 + ct + d</math> beschreiben. Stelle die Gleichung von <math>f</math> auf. | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \textrm{einsetzen} \\ | &II\quad&&& -64b + 24c &=& -12 &\mid c = 0 \, \textrm{einsetzen} \\ | ||
&&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\ | &&&\Rightarrow& -64b + 24 \cdot 0 &=& -12 \\ | ||
&&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\ | &&&\Rightarrow& -64b &=& -12 &\mid : (-64) \\ | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \textrm{und} b = \frac{3}{16} \textrm{einsetzen}\\ | &I\quad&&& 64a + 16b + 4c &=& 2 &\mid c = 0 \, \textrm{und} \, b = \frac{3}{16} \, \textrm{einsetzen}\\ | ||
&&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\ | &&&\Rightarrow& 64a + 16 \cdot \frac{3}{16} + 4 \cdot 0 &=& 2 \\ | ||
&&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\ | &&&\Rightarrow& 64a + 3 &=& 2 &\mid -3 \\ | ||
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c) | c) | ||
<br /><br /> | |||
Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen. | Forscher gehen nun (im Oktober) davon aus, dass noch im selben Jahr alle jemals infizierten Personen in Deutschland geheilt sind und entsprechend keine Fälle mehr in Deutschland auftreten. Prüfe diese Vorhersage anhand der Informationen. | ||
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d) | d) | ||
<br /><br /> | |||
Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen. | Forscher behaupten weiterhin, dass die milden Temperaturen im Frühling dafür sorgen, dass sich der temperaturempfindliche Virus optimal ausbreiten kann und deshalb die stärkste Zunahme infizierter Personen im Frühling nachzuweisen ist. Prüfe diese Behauptung anhand der Informationen. | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
&\textrm{notwendige Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\ | &\textrm{notwendige} \, \textrm{Bedingung:}& f''(t) &=& 0 \\ | ||
&\textrm{hinreichende Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\ | &\textrm{hinreichende} \, \textrm{Bedingung:}& f'''(t) &\neq& 0 \\ | ||
\end{array} | \end{array} | ||
</math> | </math> | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
\textrm{Notwendige Bedingung:} | \textrm{Notwendige} \, \textrm{Bedingung:} | ||
&& f''(t) &=& 0 \\ | && f''(t) &=& 0 \\ | ||
&\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\ | &\Leftrightarrow& -\frac{3}{32} t + \frac{3}{8} &=& 0 &\mid +\frac{3}{32} t\\ | ||
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<math> | <math> | ||
\begin{array}{rlll} | \begin{array}{rlll} | ||
\textrm{Hinreichende Bedingung:} | \textrm{Hinreichende} \, \textrm{Bedingung:} | ||
&&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\ | &&f''(4) &=& 0 &&\textrm{und} \\ | ||
&&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0 | &&f'''(4) &=& -\frac{3}{32} &\neq& 0 | ||
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e) | e) | ||
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Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a). Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet? | Skizziere nun den Graphen von <math>f</math> anhand der Informationen und vergleiche ihn mit dem Graphen aus Teilaufgabe a). Für welchen Zeitraum ist dieser Graph als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet? | ||
{{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]] | {{Lösung versteckt|1=[[Datei:Graph e.png|zentriert|rahmenlos|800x800px]] | ||
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math> | <br /><br /> | ||
Da die Funktionswerte von <math>f</math> für <math>t > 12</math> negativ sind, ist der Graph nur für <math>0 \leq t \leq 12</math> als mathematische Modellierung der Virusinfektion geeignet.|2=Lösung|3=Lösung ausblenden}} | |||
|3= Arbeitsmethode}} | |3= Arbeitsmethode}} |
Aktuelle Version vom 14. April 2020, 15:41 Uhr
Anwendungsaufgaben