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Beispielhafter Lösungsweg:
Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert.
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** Es ergibt sich: <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
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Version vom 25. Oktober 2019, 18:01 Uhr

Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

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Kombinationen

Merke
Bei linearen Funktionen der Form gibt den Y-Achsenabschnitt des Graphen an.


Arbeitsmethode

Bestimme die y-Achsenabschnitte folgender Funktionen:

(1) ,          (2)      und     (3)  ?
(1) ,          (2)      und     (3)

Test für unseren Lernpfad

Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:

  1. Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte und .
  2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte und .
  3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte und .
  4. Für die Steigung der Geraden gilt:
GeoGebra

Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form .

  1. Berechne zunächst die Steigung , indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
  2. Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt , indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form einsetzt.

Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:

  • Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
    • Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten und auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte und für und die y-Koordinaten der Punkte und für in die Geradengleichung einsetzt.
    • Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten und zu bestimmen.
    • Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung ein.
  • Lösung mit Hilfe eines Graphen:
    • Zeichne die Punkte und in ein Koordinatensystem ein.
    • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte und verläuft.
    • Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung .
    • Lies den y-Achsenabschnitt am Graphen ab.
    • Setze alles in die Geradengleichung ein.

a) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

b) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

c) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen

Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken!
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.



Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , , , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , , , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , .

Beispielhafter Lösungsweg:

  • Wir setzen die x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein und berechnen den Funktionswert:
    • .
    • Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
  • Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes ein und berechnen wieder den Funktionswert:
    • .
    • Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
    • Der Punkt liegt also nicht auf dem Graphen.