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=Test für unseren Lernpfad=
=Test für unseren Lernpfad=
===Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen===


{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen*|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + b</math>.
{{Box|Das Steigungsdreieck|
Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:
# Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte <math>P(x_P|y_P)</math> und <math>Q(x_Q|y_Q)</math>.
# Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <br> <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P</math>
# Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>. <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P</math>
# Für die Steigung <math>m</math> der Geraden gilt: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}</math>
<ggb_applet id="jbd6xgfh" width="750" height="500" border="888888" />
|Merke}}


'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(3/-4)</math> und <math>Q(8/6)</math>.
===Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen===


{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Steigung der Geraden mithilfe der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>, indem du rechnest: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2</math>. Wenn du Schwierigkeiten dabei hast, dir dieses Vorgehen zu erklären, stell dir vor, dass du an den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> des Graphen ein Steigungsdreieck zeichnest. Dann entspricht der Zähler der obigen Rechnung genau der Länge des y-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks und der Nenner der obigen Rechnung der Länge des x-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks.
{{Box|1=Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen|2= Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form <math>f(x) = mx + n</math>.
Alternativ kannst du auch zwei Gleichungen erstellen, indem du die Angaben der Punkte <math>P(3/-4)</math>, d.h. <math>x = 3</math> und <math>f(x) = -3</math>, und <math>Q(8/6)</math>, d.h. <math>x = 8</math> und <math>f(x) = 6</math> nutzt.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}


{{Lösung versteckt|1=Wenn du nach der ersten Variante vorgegangen bist, also die Steigung berechnet hast, dann wähle nun einen der beiden Punkte <math>P</math> oder <math>Q</math> und setze in <math>f(x) = 2x + b</math> die zugehörigen Werte für <math>x</math> und <math>f(x)</math> ein.
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nach der zweiten Variante vorgegangen bist, also zwei Gleichungen, jeweils mit den Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> aufgestellt hast, dann hast du ein lineares Gleichungssystem erhalten. Nun kannst du mithilfe des Eliminationsverfahrens zunächst die eine und dann die andere Unbekannte bestimmen.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
# Berechne zunächst die Steigung <math>m</math>, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
# Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt <math>n</math>, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
|2=Tipp: Allgemeines Vorgehen|3=Tipp: Steigung und y-Achsenabschnitt nacheinander berechnen}}


{{Lösung versteckt|1 = Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung <math>m</math> und dann mithilfe eines der beiden Punkte <math>b</math> bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2</math>. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes <math>P</math> oder <math>Q</math> entweder <math>-4 = 2 \cdot 3 + b</math> oder <math>6 = 2 \cdot 8 + b</math>. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach <math>b</math> liefert <math>b = -10</math>, sodass du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = 2x - 10</math> erhältst.  
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen <math>-4 = m \cdot 3 + b</math> und <math>6 = m \cdot 8 + b</math>. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du <math>b</math> eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach <math>m</math> die Unbekannte <math>m = 2</math>. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für <math>m</math> ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach <math>b</math> die Unbekannte <math>b = -10</math>. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = 2x - 10</math>.|2 = Lösung|3 = Lösung}}
Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:
* Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
** Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>x</math> und die y-Koordinaten der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> für <math>f(x)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> einsetzt.
** Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>n</math> zu bestimmen.
** Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
* Lösung mit Hilfe eines Graphen:
** Zeichne die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> in ein Koordinatensystem ein.
** Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> verläuft.
** Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung <math>m</math>.
** Lies den y-Achsenabschnitt <math>n</math> am Graphen ab.
** Setze alles in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Tipp: Alternative Vorgehen|3=Tipp: Bestimmung mit Hilfe eines LGS oder Graphen}}


'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>.  
'''a)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math>.  


{{Lösung versteckt|1=Bestimme die Steigung der Geraden mithilfe der Punkte <math>P</math> und <math>Q</math>, indem du rechnest: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{(-3) - 4}{11 - (-7)} = \frac{-7}{18}</math>. Wenn du Schwierigkeiten dabei hast, dir dieses Vorgehen zu erklären, stell dir vor, dass du an den Punkten <math>P</math> und <math>Q</math> des Graphen ein Steigungsdreieck zeichnest. Dann entspricht der Zähler der obigen Rechnung genau der Länge des y-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks und der Nenner der obigen Rechnung der Länge des x-Achsenabschnitts deines Steigungsdreiecks.
{{Lösung versteckt|1 =  
Alternativ kannst du auch zwei Gleichungen erstellen, indem du die Angaben der Punkte <math>P(-7/4)</math>, d.h. <math>x = -7</math> und <math>f(x) = 4</math>, und <math>Q(11/-3)</math>, d.h. <math>x = 11</math> und <math>f(x) = -3</math> nutzt.|2=Tipp 1|3=Tipp 1}}
Funktionsgleichung: <math>f(x) = 2x</math> <br>


{{Lösung versteckt|1=Wenn du nach der ersten Variante vorgegangen bist, also die Steigung berechnet hast, dann wähle nun einen der beiden Punkte <math>P</math> oder <math>Q</math> und setze in <math>f(x) = \frac{-7}{18}x + b</math> die zugehörigen Werte für <math>x</math> und <math>f(x)</math> ein.
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nach der zweiten Variante vorgegangen bist, also zwei Gleichungen, jeweils mit den Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> aufgestellt hast, dann hast du ein lineares Gleichungssystem erhalten. Nun kannst du mithilfe des Eliminationsverfahrens zunächst die eine und dann die andere Unbekannte bestimmen.|2=Tipp 2|3=Tipp 2}}
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = 2</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}


{{Lösung versteckt|1 = Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung <math>m</math> und dann mithilfe eines der beiden Punkte <math>b</math> bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: <math>m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{(-3) - 4}{11 - (-7)} = \frac{-7}{18}</math>. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes <math>P</math> oder <math>Q</math> entweder <math> 4 = \frac{-7}{18} \cdot (-7) + b</math> oder <math>-3 = \frac{-7}{18} \cdot 11 + b</math>. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach <math>b</math> liefert <math>b = \frac{23}{18} </math>, sodass du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}</math> erhältst.  
{{Lösung versteckt|1=
Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten <math>m</math> und <math>b</math> auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen <math>4 = m \cdot (-7) + b</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + b</math>. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du <math>b</math> eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach <math>m</math> die Unbekannte <math>m = \frac{-7}{18}</math>. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für <math>m</math> ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach <math>b</math> die Unbekannte <math>b = \frac{23}{18}</math>. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung <math>f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}</math>.|2 = Lösung|3 = Lösung}}
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(1|2)</math> und <math>Q(3|6)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>2 = m \cdot 1 + n</math> und <math>6 = m \cdot 3 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = 2</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 0</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = 2</math> und <math>n = 0</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}


<ggb_applet id="kVmNVEnx" width="700" height="500" border="888888" />
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Steigungsdreieck.png|thumb|Steigungsdreieck einer linearen Funktion an zwei ausgewählten Punkten|600px|center]]|3=Arbeitsmethode}}
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4a).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
 
'''b)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(2/1)</math> und <math>Q(6/-5)</math>.
 
{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -1,5x + 4</math> <br>
 
{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -5 - 1 = -6</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 6 - 2 = 4</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-6}{4} = \frac{-3}{2} = -1,5</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -1,5</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 1 = -1,5 \cdot 2 + n \Leftrightarrow 1 = -3 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -5 = -1,5 \cdot 6 + n \Leftrightarrow -5 = -9 + n \Leftrightarrow 4 = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}
 
{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(2|1)</math> und <math>Q(6|-5)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>1 = m \cdot 2 + n</math> und <math>-5 = m \cdot 6 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -1,5</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = 4</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -1,5</math> und <math>n = 4</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}
 
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4b).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
 
'''c)''' Gegeben seien die Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math>.
 
{{Lösung versteckt|1 =
Funktionsgleichung: <math>f(x) = -\frac{7}{18}x + \frac{23}{18}</math> <br>
 
{{Lösung versteckt|1=
* Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = -3 - 4 = -7</math>
* Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte <math>P(-7|4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> wie folgt berechnen: <br> <math>L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 11 - (-7) = 11 + 7 = 18</math>
* Für die Steigung <math>m</math> der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen: <br> <math>m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{-7}{18} = -\frac{7}{18}</math>
* Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung <math>m = -\frac{7}{18}</math> und einen der Punkte in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein:
** Falls du als Punkt <math>P</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow 4 = -\frac{7}{18} \cdot -7 + n \Leftrightarrow \frac{72}{18} = \frac{49}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
** Falls du als Punkt <math>Q</math> gewählt hast, erhälst du also <math>f(x) = mx + n \Leftrightarrow -3 = -\frac{7}{18} \cdot 11 + n \Leftrightarrow -\frac{90}{18} = -\frac{77}{18} + n \Leftrightarrow \frac{23}{18} = n</math>
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren|3=Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren}}
 
{{Lösung versteckt|1=
* Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte <math>P(-7/4)</math> und <math>Q(11/-3)</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ergeben sind <math>4 = m \cdot -7 + n</math> und <math>-3 = m \cdot 11 + n</math>.
* Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du <math>n</math> eliminieren.
* Nun kannst du eine Gleichung nach <math>m</math> auflösen und erhälst <math>m = -\frac{7}{18}</math>.
* Dies setzt du nun in die andere Gleichung für <math>m</math> ein und erhälst <math>n = \frac{23}{18}</math>.
* Als letztes setzt du <math>m = -\frac{7}{18}</math> und <math>n = \frac{23}{18}</math> in die Geradengleichung <math>f(x) = mx + n</math> ein.
|2=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS|3=Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS}}
 
{{Lösung versteckt|1=
[[Datei:Graphische Lösung zu Aufgabe 4c).png|thumb|Graphischer Lösungsweg|600px|center]]
|2=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen|3=Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen}}
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
 
|3=Arbeitsmethode}}
 
===Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen===
{{Box |1=Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen|2=Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken! <br>
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.
 
{{LearningApp|width:100%|height:700px|app=p446x08nn19}}
 
{{Lösung versteckt|1 = Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte|2=Tipp|3=Tipp}}
 
{{Lösung versteckt|1 =
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> liegen die Punkte: <math>(-1|1)</math>, <math>(0|3)</math>, <math>(2|7)</math>, <math>(1|5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -x + 12</math> liegen die Punkte: <math>(2|10)</math>, <math>(12|0)</math>, <math>(\frac{7}{2}|\frac{17}{2})</math>, <math>(9|3)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}</math> liegen die Punkte: <math>(-1|-1)</math>, <math>(5|-5)</math>.
* Auf dem Graphen der Funktion <math>f(x) = \frac{3}{8}</math> liegen die Punkte: <math>(4|\frac{3}{8})</math>, <math>(9|\frac{9}{24})</math>.
 
Beispielhafter Lösungsweg:
* Wir setzen die x-Koordinate des Punktes <math>(-1|1)</math> in die Funktion <math>f(x) = 2x + 3</math> ein und berechnen den Funktionswert:
** <math>f(-1) = 2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1</math>.
** Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
* Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes <math>(2|10)</math> ein und berechnen wieder den Funktionswert:
** <math>f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7</math>.
** Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
** Der Punkt <math>(2|10)</math> liegt also nicht auf dem Graphen.
|2 = Lösung|3 = Lösung}}
|3=Arbeitsmethode}}

Aktuelle Version vom 25. Oktober 2019, 18:01 Uhr

Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

Vorlagen

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Aufgabe
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Interaktive Applets


Kombinationen

Merke
Bei linearen Funktionen der Form gibt den Y-Achsenabschnitt des Graphen an.


Arbeitsmethode

Bestimme die y-Achsenabschnitte folgender Funktionen:

(1) ,          (2)      und     (3)  ?
(1) ,          (2)      und     (3)

Test für unseren Lernpfad

Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:

  1. Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte und .
  2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte und .
  3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte und .
  4. Für die Steigung der Geraden gilt:
GeoGebra

Lineare Funktionen - Bestimmung von Geradengleichungen

Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form .

  1. Berechne zunächst die Steigung , indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
  2. Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt , indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form einsetzt.

Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:

  • Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
    • Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten und auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte und für und die y-Koordinaten der Punkte und für in die Geradengleichung einsetzt.
    • Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten und zu bestimmen.
    • Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung ein.
  • Lösung mit Hilfe eines Graphen:
    • Zeichne die Punkte und in ein Koordinatensystem ein.
    • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte und verläuft.
    • Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung .
    • Lies den y-Achsenabschnitt am Graphen ab.
    • Setze alles in die Geradengleichung ein.

a) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

b) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

c) Gegeben seien die Punkte und .

Funktionsgleichung:

  • Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte und wie folgt berechnen:
  • Für die Steigung der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  • Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung und einen der Punkte in die Geradengleichung ein:
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
    • Falls du als Punkt gewählt hast, erhälst du also
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
  • Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte und in die Geradengleichung ergeben sind und .
  • Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du eliminieren.
  • Nun kannst du eine Gleichung nach auflösen und erhälst .
  • Dies setzt du nun in die andere Gleichung für ein und erhälst .
  • Als letztes setzt du und in die Geradengleichung ein.
Graphischer Lösungsweg

Prüfen, ob Punkte auf einer Geraden liegen

Aufgabe 5: Punkte auf dem Graphen

Prüfe für die angegebenen linearen Funktionen, welche Punkte auf dem Funktionsgraphen liegen. Arbeite zunächst im Heft und ordne dann jeder Funktion die Punkte zu, die auf ihrem Graphen liegen. Klicke dabei immer zunächst auf die Funktion und anschließend auf die zugehörigen Punkte. Je mehr Punkte du ihren Funktionen richtig zuweist, desto mehr wird sich ein Bild im Hintergrund aufdecken!
Hinweis: Einer Funktion können mehrere Punkte zugeordnet sein, aber jedem Punkt ist nur genau eine Funktion zugeordnet.



Setze die x-Koordinaten der Punkte in die Funktionen ein und vergleiche den Funktionswert mit den y-Koordinaten der Punkte
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , , , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , , , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , .
  • Auf dem Graphen der Funktion liegen die Punkte: , .

Beispielhafter Lösungsweg:

  • Wir setzen die x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein und berechnen den Funktionswert:
    • .
    • Der Punkt liegt also auf dem Graphen der Funktion.
  • Nun setzen wir in dieselbe Funktion noch den x-Wert des Punktes ein und berechnen wieder den Funktionswert:
    • .
    • Der Funktionswert an der Stelle 2 ist nicht 10, sondern 7.
    • Der Punkt liegt also nicht auf dem Graphen.