Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum

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SEITE IM AUFBAU

Vorwissen
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion

3 Exponentielles Wachstum

Einstieg: Weltbevölkerung

Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%.
Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125

Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde?

Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph)

Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W₁₁ = W₀ ∙ q¹¹
   = 7,70 ∙ 1,025¹¹

   ≈8,83

Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung

Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt.
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit
W_n = W₀ · qⁿ,
wobei q der Wachstumsfaktor ist.

Zunahme: q = 1 + p%, also q > 1

Abnahme: q = 1 - p%, also q < 1

 

Die Gleichung W_n = W₀ · qⁿ heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.

Erinnerung vermehrter/verminderter Grundwert in der Prozentrechnung:
vermehrter Grundert: G⁺ = G · p⁺% (mit p⁺% = 1+p% = q)

verminderter GrundwertG^- = G · p^-% (mit p⁺% = 1-p% = q)

3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen

Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (W_n gesucht)

Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%.

Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?

geg: W₀ = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W₅

W_n = W₀ · qⁿ
W₅ = 1,38 · 1,008⁵
     = 1,436

Indien wird im Jahr 2025 ca. 1,436 Mrd. Einwohner haben.

Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):

Übung 1: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

• 9
• 10
• 11
• 12
• 17
• 18
• 19
• 20
• 21

Exponentialgleichung - Formel umstellen

Du kannst die Formel auch nach n umstellen. Die Lösung erfolgt durch Logarithmieren. Eine Erklärung hierzu, findest du unten auf der Seite.

Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W₀ gesucht)

Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?

geg: W₃₀ = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W₀

W_n = W₀ · qⁿ   | : qⁿ
W₀ = $\tfrac{W_n}{q^n}$
W₀ = $\tfrac{W_{30}}{q^{30}}$
      = $\tfrac{4,7}{0,983^{30}}$
     ≈ 7,86

Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².

Übung 2: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

• 22
• 23
• 24
• 25

Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)

Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen?

geg: W₀ = 600 €; W₅ = 730 €; n = 5
ges: q bzw. p%

W_n = W₀ · qⁿ   | : W₀
$\tfrac{W_n}{W_0}$ = qⁿ   | $\sqrt[n]{}$
$\sqrt[n]{\tfrac{W_n}{W_0}}$ = q
$\sqrt[5]{\tfrac{730}{600}}= q$
1,04 ≈ q
p% = q - 1 = 0,04 = 4%

Die Mietsteigerung betrug jährlich 4%.

Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild

Übung 3: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

• 26
• 27
• 28
• 29
• 30

Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)

Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken.
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug?

geg: W₀ = 100°; W_n = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95
ges: n

W_n = W₀ · qⁿ   | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)
Für n = 1 gilt:
W₁ = W₀ · q¹   |     = 100 · 0,95¹
    = 95 (°C)
...
Für n = 8 gilt: W₈ = W₀ · q⁸   |     = 100 · 0,95⁸
    ≈ 66,3 (°C)
Für n = 9 gilt: W₉ = W₀ · q⁹   |     = 100 · 0,95⁹
    ≈ 63,0 (°C)

Nach ca. 9 Minuten ist der Tee auf unter 65°C abgekühlt.

Du kannst die Lösung auch durch Logarithmieren lösen:
W_n = W₀ · qⁿ
65 = 100 · 0,95ⁿ   |:100
0,65 = 0,95ⁿ   |log
$\tfrac{\log0,65}{\log0,95}$ = n
8,4 ≈ n

Also ist der Tee nach ca. 9 Minuten auf unter 65°C abgekühlt

Übung 4: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.

• 37
• 38
• 39
• 40
• 41

Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.

• S. 73 Nr. 1
• S. 73 Nr. 2
• S. 73 Nr. 4
• S. 75 Nr. 9
• S. 75 Nr. 11
• S. 80 Nr. 7

geg: W₀ = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3
ges: W₁; W₂; ...; W₅

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.

geg: W₀ = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; W_n = 1200 g
ges: n
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.
Lösung: für n = 6 ist W₆ = ... ≈965,4 g
für n = 7 ist W₇ = ... ≈ 1254,9 g

Nach etwas weniger als 7 Tagen ist die Algenmasse auf 1200 g gewachsen.

geg: W₀ = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W₂

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.

geg: W₂ = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009
ges: W₀ (2013) und W₁ (2014)

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 2.

geg: W₀ = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W₅

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.

geg: W₀ = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W₄₀

Rechne jeweils wie in Anwendungsaufgabe 1.

geg: W₀ = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe)
ges: W₁₀
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
Lösung: W₁₀ = ... ≈ 31,2%

In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%.

geg: Luftdruck in Meereshöhe W₀=1013 hPa; Abnahme je 100m p%=-1,23%=-0,0123, also q=1-0,0123 = 0,9877; Höhe des Kilimandscharo 5895m = 58,95· 100 m, also x = 58,95 und des Mt. Everest 8848m = 88,48·100 m, also x = 88,48
ges: Luftdruck auf den Bergen, also W_x
W_x = W₀ · q^x
    = 1013 · 0,9877^58,95
   ≈ 488,4 (hPa)

Rechne ebenso für den Mt Everest (Lösung: 338,9 hPa)

Bestimme zunächst den Luftdruck in 500 m Höhe (also x = 5) und in 841 m Höhe (also x = 8,41). Danach berechne den Unterschied von beiden. dies ist W.

Den prozentuale Unterschied berechne mit p% = $\tfrac{W}{G}$, mit dem Grundwert in 500m Höhe.

Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein. W_x = 1013 · 0,9887^x:100
x steht hier für die Höhe, in der der Luftdruck berechnet werden soll.

Übung 6: Aufgabenfuchs

Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die vermischten Aufgaben.

• 31
• 32
• 33
• 34
• 35
• 36

Übung 7: ANTON-APP

Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der ANTON-App.

3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung

Zinseszins

Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel

K_n = K₀ ∙ qⁿ       mit q = 1 + p%

Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.

Übung 8 (online)

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen)
• 2 (Nutze die Zinseszinsformel K_n = K₀ ∙ qⁿ)
• 3 (Nutze die Zinseszinsformel K_n = K₀ ∙ qⁿ)

Übung 9

a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.

Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.

geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K₅ = K₀ ∙ q⁵
   = 7500 ∙ 1,015⁵

   = 8079,63 (€)

Umstellen der Zinseszinformel

Formel umstellen nach K₀
("Wie hoch war das Startkapital...?):

K_n = K₀ ∙ qⁿ  |:qⁿ
$\tfrac{K_n}{q^n}$= K₀

Formel umstellen nach q
("Mit welchem Prozentsatz ...?):

K_n = K₀ ∙ qⁿ  |:K₀
$\tfrac{K_n}{K^0}$ = qⁿ  |$\sqrt[n]{}$
$\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}$ = q
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.

 

Formel umstellen nach n
("Nach wie vielen Jahren...?"):

Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch systematisches Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.

Hefteintrag: Beispiele

Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.

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Übung 10 (online)

Wähle aus den folgenden Aufgaben mindestens zwei Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Übung 11 - Zinseszinsrechnung

Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

• S. 73 Nr. 3

a) geg:...
ges: q; K_n
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015

K₅ = K₀ ∙ q⁵ Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.

b) geg:...
ges: p%; K_n
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%

Berechne K_n durch einsetzen der Werte in die Formel.

c) geg: ...
ges: K₀; p%

Stelle die Formel nach K₀ um und setze dann die gegebenen Werte ein.

d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.

Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)

e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.

Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.

Übung 12 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.

• S. 73 Nr. 5a (**)
• S. 79 Nr. 1
• S. 83 Nr. 10
• S. 87 Nr. 6
• S. 87 Nr. 7

Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K₀ = 1000€
geg: K₀ = 1000€; K_n = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018

Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder K_n mehr als 2000€ beträgt.

Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K₀ = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: K_n
K_n = K₀ ∙ qⁿ Setze ein und berechne.

Angebot B:
geg: K₀ = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K₇ gibt es zusätzlich 10%.
K_n = K₀ ∙ qⁿ Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K₇ noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital K_Ende = K₇ ∙ 1,1 ...

denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.

a) geg: K₀ = 2800€; n = 5; K₅ = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K₀ = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; K_n = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K₈ = 6776,25€
ges: K₀

Stelle die Zinseszinsformel nach K₀ um und setzte die gegebenen Werte ein.

Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)

Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K₀ = 500€; K₀ = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
K_n=8079,63€; K_n = 11685,39€; K_n = 11098,45€

n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre

3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)

Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf leifiphysik)

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit T_{Tiefstellen$\tfrac{1}{2}$} gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat.
Der Wachstumsfaktor ist also q=100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und

die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = $\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}$.

Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:

• Halbwertszeit (Atome)

Direkter Link: https://www.geogebra.org/m/cq62nsqj

Applet von Hegius, Mathezone

Generationszeit/ Verdopplungszeit

Die Generationszeit T₂ gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat.
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100%+100% = 1 + 1 = 2 und

die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = $\tfrac{Zeit}{Generationszeit}$.

Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:

• Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)

Direkter Link: passt das Applet??

Applet von Hegius, R. Schürz

Übung 13 - Generationszeit und Halbwertszeit

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.

• S. 75 Nr. 10
• S. 79 Nr. 4
• S. 79 Nr. 5
• S. 80 Nr. 8
• S. 80 Nr. 9
• S. 80 Nr. 10
• S. 85 Nr. 23 (***)
• S. 85 Nr. 26 (**)

geg: Wismut 210 mit T_{$\tfrac{1}{2}$} = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W₀ = 100g.
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6
ges: Wertetabelle:
W₁ = W₀ · 0,5¹
    = 100 · 0,5 = 50 (g)
W₂ = W₀ · 0,5²
    = 100 · 0,5² = 25 (g)
W₃ = W₀ · 0,5³
    = 100 · 0,5³ = 12,5 (g)
...

Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.

geg: Radium-229 mit T_{$\tfrac{1}{2}$} = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W₀ = 48g.
Zeit = 6 Minuten = 360 s
ges: n; W_n
n = $\tfrac{Zeit}{Halbwertszeit}$ = $\tfrac{360}{240}$ = 1,5

W_1,5 = 48 · 0,5^1,5 = ...

geg: Radium-229 mit T_{$\tfrac{1}{2}$} = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W₀ = 48mg.
W_n = 1,5 mg
ges: n; t (Zeit)

1,5 = 48 · 0,5ⁿ
Löse durch systematisches Probieren.

Lösung: n = 5, also t = 5·240 s = 1200 s = 20 min

geg: Generationszeit T₂ = 45 Tage; W₀ = 10 (Ratten); q = 2; t = 3 Monate = 90 Tage; n = $\tfrac{t}{T_2}$ = $\tfrac{90}{45}$ = 2

ges: W_n

geg: Generationszeit T₂ = 45 Tage = 1,5 Monate; q = 2; W₀ = 10 (Ratten); W_n = 80 Mio;
ges: n; t

Löse durch systematisches Probieren. (Lösung: n = 23; t = n·1,5 (Monate))

geg: n = 23 (wie in Nr. 8b)

ges: t = n·2 (Monate)(Lösung: n = 23)

geg: q = 2; W₀ = 50 Bakterien; T₂ = 30 Minuten = 0,5 Stunden; t= 3,5 Stunden; n = $\tfrac{t}{T_2}$ = $\tfrac{3,5}{0,5}$ = 7

ges: W_n

geg: q = 2; T₂ = 3 Wochen; W_n = 100·W₀
ges: n; t
W_n = W₀·qⁿ   | Setze q = 2 und W_n = 100·W₀ ein
Löse durch systematisches Probieren.

(Lösung: n = 6,6 , also t = ...

geg: W₀ = 100% (die gesamte Menge des Stoffe ist noch da); W₆ = 100% - 34% = 66%; n = 6
ges: q
W₆ = W₀ · q⁶   | Umstellen nach q
$\sqrt[6]{\tfrac{W_6}{W_0}}$ = q
$\sqrt[6]{\tfrac{0,66}{1}}$ = q
0,933 ≈ q
Nun berechne die Halbwertszeit:
geg: W₀ = 100%; W_n = 50%; q = 0,933
ges: n
W_n = W₀ · qⁿ
0,5 = 1 · 0,993ⁿ
Löse durch Probieren.
Für n = 9 gilt: W₉ ≈ 0,54
Für n = 10 gilt: W₁₀ ≈ 0,4998

Also beträgt die Halbwertszeit ca. 10 Jahre, denn nach 10 Jahren hat sich die Stoffmenge halbiert.

geg: W₀ = 100%; W₂₄ = 300% (verdreifacht); n = 24
ges: q (prozentuales Wachstum pro Tag); p%
...

Lösung: q=1,0468

Einschub: Logarithmieren

Ist beim exponentiellen Wachstum der Exponent n gesucht, kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren.

Definition Logarithmus

Als Logarithmus wird der Exponent n bezeichnet, mit dem man die Basis b potenziert, um die Zahl a zu erhalten (a und b positiv):
bⁿ=a, dann gilt log_ba = n
Beispiele:

• log₂8 = 3; denn 2³ = 8
  
• log₁₀100000 = 5; denn 10⁵ = 100000

Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge:
5^x = 25
x = $\tfrac{log25}{log5}$

x = 2

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Übung zum Logarithmieren

Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners:
3^x = 50 also ist
x = $\tfrac{log50}{log3}$

x ≈ 3,56

4 Die Exponentialfunktion