Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%. Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125
Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde?
Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph)
Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W11 = W0 ∙ q11
= 7,70 ∙ 1,02511
≈8,83
Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung
Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt.
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit Wn = W0 · qn,
wobei q der Wachstumsfaktor ist. q = 1+p% (Zunahmen) bzw.q=1-p%(Abnahme)
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.
3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen
Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%.
Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?
geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W5
Wn = W0 · qn
W5 = 1,38 · 1,0085
= 1,436
Indien wird im Jahr 2025 ca. 1,436 Mrd. Einwohner haben.
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
Übung 1: Aufgabenfuchs
Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.
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Exponentialgleichung - Formel umstellen
Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W0 gesucht)
Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?
geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W0
Wn = W0 · qn | : qn
W0 =
W0 =
=
≈ 7,86
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².
Übung 2: Aufgabenfuchs
Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die folgenden Aufgaben.
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Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)
Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen?
Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken.
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug?
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g
ges: n
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g
Nach etwas weniger als 7 Tagen ist die Algenmasse auf 1200 g gewachsen.
geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W2
geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W5
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W40
Rechne jeweils wie in Anwendungsaufgabe 1.
geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe)
ges: W10
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2%
In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%.
geg: Luftdruck in Meereshöhe W0=1013 hPa; Abnahme je 100m p%=-1,23%=-0,0123, also q=1-0,0123 = 0,9877; Höhe des Kilimandscharo 5895m = 58,95· 100 m, also x = 58,95 und des Mt. Everest 8848m = 88,48·100 m, also x = 88,48
ges: Luftdruck auf den Bergen, also Wx
Wx = W0 · qx
= 1013 · 0,987758,95
≈ 488,4 (hPa)
Rechne ebenso für den Mt Everest (Lösung: 338,9 hPa)
Bestimme zunächst den Luftdruck in 500 m Höhe (also x = 5) und in 841 m Höhe (also x = 8,41). Danach berechne den Unterschied von beiden. dies ist W.
Den prozentuale Unterschied berechne mit p% = , mit dem Grundwert in 500m Höhe.
Gib die Funktionsgleichung bei GeoGebra ein. Wx = 1013 · 0,9887x:100
x steht hier für die Höhe, in der der Luftdruck berechnet werden soll.
Übung 7: Aufgabenfuchs
Bearbeite auf der Seite Aufgabenfuchs die vermischten Aufgaben.
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Übung 8: ANTON-APP
Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der ANTON-App.
3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung
Zinseszins
Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel
Kn = K0 ∙ qn mit q = 1 + p%
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
Formel umstellen nach K0 ("Wie hoch war das Startkapital...?):
Kn = K0 ∙ qn |:qn = K0
Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
Kn = K0 ∙ qn |:K0 = qn | = q
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.
Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch systematisches Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
Hefteintrag: Beispiele
Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.
Übung 11 (online)
Wähle aus den folgenden Aufgaben mindestens zwei Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs
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6
7
8
9
Übung 12 - Zinseszinsrechnung
Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
Berechne Kn durch einsetzen der Werte in die Formel.
c) geg: ...
ges: K0; p%
Stelle die Formel nach K0 um und setze dann die gegebenen Werte ein.
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.
Übung 13 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne.
S. 73 Nr. 5a (**)
S. 79 Nr. 1
S. 83 Nr. 10
S. 87 Nr. 6
S. 87 Nr. 7
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder Kn mehr als 2000€ beträgt.
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Stelle die Zinseszinsformel nach K0 um und setzte die gegebenen Werte ein.
Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)
3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Halbwertszeit und Generationszeit (Verdopplungszeit)
Einstieg: evtl. Bierschaumzerfall (Untersuchtung auf leifiphysik)
Halbwertszeit
Die Halbwertszeit TTiefstellen gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge radioaktiven Materials halbiert hat.
Der Wachstumsfaktor ist also q=100% - 50% = 1 - 0,5 = 0,5 und
die Anzahl n der Zerfallsprozesse wird berechnet mit n = .
Das nachfolgende Applet stellt den Zerfallsprozess anschaulich dar:
Die Generationszeit T2 gibt an, nach welcher Zeitspanne sich die Ausgangsmenge / Population verdoppelt hat.
Der Wachstumsfaktor ist also q = 100%+100% = 1 + 1 = 2 und
die Anzahl n der Generationszeiten wird berechnet mit n = .
Das nachfolgende Applet stellt den Verdopplungsprozess anschaulich dar:
Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)
Direkter Link: passt das Applet??
Applet von Hegius, R. Schürz
Übung 14 - Generationszeit und Halbwertszeit
Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.
S. 75 Nr. 10
S. 79 Nr. 4
S. 79 Nr. 5
S. 80 Nr. 8
S. 80 Nr. 9
S. 80 Nr. 10
S. 85 Nr. 23 (***)
S. 85 Nr. 26 (**)
geg: Wismut 210 mit T = 5 Tage; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 100g.
Zeit = 30 Tage, in 5 Tagesabschnitten, also für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6
ges: Wertetabelle:
W1 = W0 · 0,51
= 100 · 0,5 = 50 (g)
W2 = W0 · 0,52
= 100 · 0,52 = 25 (g)
W3 = W0 · 0,53
= 100 · 0,53 = 12,5 (g)
...
Nach 2 Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der ursprünglichen Menge vorhanden, also nach 2·5 = 10 Tagen.
geg: Radium-229 mit T = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48g.
Zeit = 6 Minuten = 360 s
ges: n; Wn
n = = = 1,5
W1,5 = 48 · 0,51,5 = ...
geg: Radium-229 mit T = 240 s; q = 0,5 und Ausgangsmenge W0 = 48mg.
Wn = 1,5 mg
ges: n; t (Zeit)
1,5 = 48 · 0,5n
Löse durch systematisches Probieren.
geg: q = 2; T2 = 3 Wochen; Wn = 100·W0
ges: n; t
Wn = W0·qn | Setze q = 2 und Wn = 100·W0 ein
Löse durch systematisches Probieren.
(Lösung: n = 6,6 , also t = ...
geg: W0 = 100% (die gesamte Menge des Stoffe ist noch da); W6 = 100% - 34% = 66%; n = 6
ges: q
W6 = W0 · q6 | Umstellen nach q = q = q
0,933 ≈ q
Nun berechne die Halbwertszeit:
geg: W0 = 100%; Wn = 50%; q = 0,933
ges: n
Wn = W0 · qn
0,5 = 1 · 0,993n Löse durch Probieren.
Für n = 9 gilt: W9 ≈ 0,54
Für n = 10 gilt: W10 ≈ 0,4998
Also beträgt die Halbwertszeit ca. 10 Jahre, denn nach 10 Jahren hat sich die Stoffmenge halbiert.
geg: W0 = 100%; W24 = 300% (verdreifacht); n = 24
ges: q (prozentuales Wachstum pro Tag); p%
...
Lösung: q=1,0468
Einschub: Logarithmieren
Ist beim exponentiellen Wachstum der Exponent n gesucht, kannst du diesen Wert durch systematisches Probieren erhalten. Eine genauere Möglichkeit ist das Logarithmieren.
Definition Logarithmus
Als Logarithmus wird der Exponent n bezeichnet, mit dem man die Basis b potenziert, um die Zahl a zu erhalten (a und b positiv), kurz: logba .
Beispiele:
log28 = 3; denn 23 = 8
log10100000 = 5; denn 105 = 100000
Für die Berechnung des Exponenten in den Aufgaben zum exponentiellen Wachstum nutzt du die folgende Tastenfolge:
5x = 25
x =
x = 2
Übung zum Logarithmieren
Löse S. 84 Nr. 21b mithilfe des Taschenrechners:
3x = 50 also ist
x =
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