Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum

zurück zur Seite der Herta-Lebenstein-Realschule

SEITE IM AUFBAU

Vorwissen
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum

3 Exponentielles Wachstum

Einstieg: Weltbevölkerung

Im Jahr 2019 lebten 7,7 Mrd. Menschen auf der Erde. Wissenschaflter prognostizierten in diesem Jahr eine jährliche Zuwachsrate von 1,25%.
Also gilt q=100%+1,25% = 101,25% = 1,0125

Wie viele Menschen leben demnach im Jahr 2030 auf der Erde?

Stelle diese Situation auf verschiedene Arten dar. (Erinnerung: Text (ist gegeben), Wertetabelle, Funktionsgleichung und Funktionsgraph)

Datei:Weltbevölkerung Tipp Wertetabelle.png

Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W₁₁ = W₀ ∙ q¹¹
   = 7,70 ∙ 1,025¹¹

   ≈8,83

Exponentielles Wachstum - Exponentialgleichung

Wir sprechen von exponentiellem Wachstum, wenn der Wert einer Größe in gleichen Zeitspannen immer um denselben Prozentsatz p% zunimmt bzw. abnimmt.
Die neue Größe nach n Zeitspannen berechnen wir mit
W_n = W₀ · qⁿ,

wobei q der Wachstumsfaktor ist. q = 1+p% (Zunahmen) bzw.q=1-p%(Abnahme)

Die Gleichung W_n = W₀ · qⁿ heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.

Anwendungsaufgabe 1: Bevölkerungswachstum (W_n gesucht)

Die Bevölkerung in Indien beträgt zur Zeit 1,38 Milliarden Einwohner (2020). Die jährliche Zunahme beträgt derzeit 0,8%.

Wie viele Einwohner hat Indien im Jahr 2025?

geg: W₀ = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W₅

W_n = W₀ · qⁿ
W₅ = 1,38 · 1,008⁵
     = 1,436

Indien wird im Jahr 2025 ca. 1,436 Mrd. Einwohner haben.

Exponentialgleichung - Formel umstellen

Anwendungsaufgabe 2: Klimawandel (W₀ gesucht)

Im Jahr 2021 ist die Fläche der Arktis mit 4,7 Mio km² deutlich kleiner als noch vor rund 30 Jahren. Die Abnahme beträgt mit leichten Schwankungen jährlich ca. 1,7%.
Wie groß war die Fläche vor 30 Jahren?

geg: W₃₀ = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W₀

W_n = W₀ · qⁿ   | : qⁿ
W₀ = $\tfrac{W_n}{q^n}$
W₀ = $\tfrac{W_{30}}{q^{30}}$
      = $\tfrac{4,7}{0,983^{30}}$
     ≈ 7,86

Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².

Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)

Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.
Um wie viel Prozent ist die Miete durchschnittlich pro Jahr gestiegen?

geg: W₀ = 600 €; W₅ = 730 €; n = 5
ges: q bzw. p%

W_n = W₀ · qⁿ   | : W₀
$\tfrac{W_n}{W_0}$ = qⁿ   | $\sqrt[n]{}$
$\sqrt[n]{\tfrac{W_n}{W_0}}$W₀ = q
$\sqrt[5]{\tfrac{730}{600}}= q$
1,04 ≈ q
p% = q - 1 = 0,04 = 4%

Die Mietsteigerung betrug jährlich 4%.

Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)

Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken.
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug?

geg: W₀ = 100°; W_n = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95
ges: n

W_n = W₀ · qⁿ   | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)
Für n = 1 gilt:
W₁ = W₀ · q¹   |     = 100 · 0,95¹
    = 95 (°C)
...
Für n = 8 gilt: W₈ = W₀ · q⁸   |     = 100 · 0,95⁸
    ≈ 66,3 (°C)
Für n = 9 gilt: W₉ = W₀ · q⁹   |     = 100 · 0,95⁹
    ≈ 63,0 (°C)

Nach ca. 9 Minuten ist der Tee auf unter 65°C abgekühlt.

Übung 1

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung.

• S. 73 Nr. 1
• S. 73 Nr. 2
• S. 73 Nr. 4
• S. 75 Nr. 9
• S. 75 Nr. 11

geg: W₀ = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3
ges: W₁; W₂; ...; W₅

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.

geg: W₀ = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; W_n = 1200 g
ges: n

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.

geg: W₀ = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W₂

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.

geg: W₂ = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009
ges: W₀ (2013) und W₁ (2014)

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 2.

geg: W₀ = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W₅

Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.

geg: W₀ = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W₄₀

Rechne jeweils wie in Anwendungsaufgabe 1.

• Formel umstellen
• Verdopplungszeit (Bakterien)

Applet von Hegius, R. Schürz

• Halbwertszeit (Atome)

Applet von Hegius, R. Schürz

4 Die Exponentialfunktion

Exponentialfunktion

Die Funktion mit der Gleichung f(x) = c∙ax heißt Exponentialfunktion.

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Beschreibe die Eigenschaften der Exponentialfunktion f(x) = c∙ax .

Wähle zunächst c=1. Wie verläuft der Graph der Funktion? Löse den Lückentext und übertrage ihn in dein Heft.

Applet von Ralf Wagner

Der Graph verläuft immer oberhalb der x-Achse.
Der Graph geht immer durch den Punkt (0|1).
Für a>1 steigt der Graph (Zunahme),

für 0<a<1 fällt der Graph (Abnahme).