I
7
x
−
2
y
=
48
II
3
x
+
11
y
=
11
{\displaystyle \begin{array}{crcrcr}
\text{I}\quad & 7x & - & 2y & = & 48\\
\text{II}\quad & 3x & + & 11y & = & 11
\end{array}}
7
x
−
2
y
=
48
3
x
+
11
y
=
11
{\displaystyle \begin{array}{rcrcr}
7x & - & 2y & = & 48\\
3x & + & 11y & = & 11
\end{array}}
|
7
x
−
2
y
=
48
3
x
+
11
y
=
11
|
{\displaystyle \left\vert\begin{array}{rcrcr}
7x & - & 2y & = & 48\\
3x & + & 11y & = & 11
\end{array}\right\vert}
|
x
+
42
y
−
z
=
1
4242
x
−
24
y
+
4
z
=
−
42
−
x
+
1
3
y
=
0
|
{\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert}
✓
{\displaystyle \checkmark}
Für den Schnittpunkt
S
12
{\displaystyle S_{12}}
der Geraden
g
{\displaystyle g}
mit der
x
1
x
2
{\displaystyle x_1x_2}
-Ebene setze die
x
3
{\displaystyle x_3}
-Koordinate
=
0
{\displaystyle = 0}
und forme nach
r
{\displaystyle r}
um:
0
=
2
+
r
⋅
1
⇔
r
=
−
1
{\displaystyle 0 = 2 + r \cdot 1 \Leftrightarrow r = -1}
. Setze nun
r
=
−
2
{\displaystyle r = -2}
in der Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt
S
12
{\displaystyle S_{12}}
zu erhalten:
S
12
→
=
(
1
−
4
2
)
+
(
−
2
)
⋅
(
0
2
1
)
=
(
1
−
8
0
)
{\displaystyle \vec{S_{12}} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + (-2) \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -8 \\ 0 \end{pmatrix}}
Test a Test b Test c Test d Test e Test f Test g Test h Test i Test j Test k Test l Test m Test
A
B
→
,
A
S
→
{\displaystyle \vec{AB}, \vec{AS} }
A
B
→
=
B
→
−
A
→
=
(
−
1
−
1
−
3
)
−
(
−
3
2
−
1
)
=
(
2
−
3
−
2
)
{\displaystyle \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ -2 \end{pmatrix} }
A
S
→
=
S
→
−
A
→
=
(
3
7
−
11
)
−
(
−
3
2
−
1
)
=
(
6
5
−
10
)
{\displaystyle \vec{AS} = \vec{S} - \vec{A} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -11 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 5 \\ -10 \end{pmatrix} }
|
A
B
→
|
=
2
2
+
(
−
3
)
2
+
(
−
2
)
2
=
17
{\displaystyle |\vec{AB}| = \sqrt{2^2+(-3)^2+(-2)^2} = \sqrt{17} }
|
A
S
→
|
=
6
2
+
5
2
+
(
−
10
)
2
=
161
{\displaystyle |\vec{AS}| = \sqrt{6^2+5^2+(-10)^2} = \sqrt{161} }
Winkel
α
{\displaystyle \alpha }
cos
(
α
)
=
A
B
→
∗
A
S
→
|
A
B
→
|
⋅
|
A
S
→
|
{\displaystyle \cos(\alpha) = \frac {\vec{AB} \ast \vec{AS}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AS}|} }
cos
(
α
)
=
12
−
15
+
20
17
⋅
161
=
17
17
⋅
161
=
17
161
{\displaystyle \cos(\alpha) = \frac {12-15+20}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \frac{17}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{161}} = \sqrt{\frac{17}{161}}}
α
=
arccos
(
17
161
)
≈
71
,
04
∘
{\displaystyle \alpha = \arccos \left( \sqrt{\frac{17}{161}} \right) \approx 71{,}04^\circ }
β
=
90
∘
−
α
=
18
,
96
∘
{\displaystyle \beta = 90^\circ - \alpha = 18{,}96^\circ }
Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind
α
=
71
,
04
∘
,
β
=
18
,
96
∘
und
γ
=
90
∘
.
{\displaystyle \alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ.}
Die Innenwinkel des Dreiecks ABS sind
α
=
71
,
04
∘
,
β
=
18
,
96
∘
und
γ
=
90
∘
{\displaystyle \alpha = 71{,}04^\circ, \beta = 18{,}96^\circ \text{ und } \gamma = 90^\circ}
.
2.
{\displaystyle 2.}
Hallo
2
{\displaystyle 2}
Du hast immer noch keine genaue Vorstellung davon, wie du das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen kannst? Dann schaue dir das Video zum Thema Skalarprodukt an:
Wenn du die Höhe der Pyramide kennst, weißt du, welche Abstand die Spitze von der Grundfläche hat. Du kennst auch schon den Mittelpunkt der Pyramiden und kannst entlang des Normalenvektors von
E
{\displaystyle E}
Du kannst die Höhe der Pyramide mithilfe des Satzes von Pythagoras und der Längenangaben berechnen.
α
=
90
{\displaystyle \alpha = 90}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ}}
α
=
90
∘
{\displaystyle \alpha = 90^{\circ}}
a
sich nach 10sek auf
(
1239
,
75
1040
1287
,
5
)
{\displaystyle \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}}
b
sich nach 10sek auf
(
1239
,
75
1040
1287
,
5
)
{\displaystyle \begin{pmatrix} 1239,75 \\ 1040 \\ 1287,5 \end{pmatrix}}
a Welche der folgenden Geraden verlaufen durch die Punkte
A
(
1
|
0
|
−
2
)
{\displaystyle A(1|0|{-}2)}
B
(
3
|
4
|
0
)
{\displaystyle B(3|4|0)}
Test
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
{\displaystyle \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}}
a
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
a
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 8 & 9
\end{pmatrix}</math>
Regex JA:
f
:
R
→
R
{\displaystyle f : \R \to \R}
E
:
x
→
{\displaystyle E :\vec{x}}
E
:
x
→
{\displaystyle E : \vec{x}}
E
:
x
→
{\displaystyle E : \vec{x}}
g
:
x
→
{\displaystyle g :\vec{x}}
g
:
x
→
{\displaystyle g : \vec{x}}
g
1
:
x
→
{\displaystyle g_1 :\vec{x}}
g
1
:
x
→
{\displaystyle g_1 : \vec{x}}
NEIN:
42
:
6
{\displaystyle 42 : 6}
(
−
3
|
−
3
|
4
)
{\displaystyle (-3|-3|4)}
(
4
∣
−
5
∣
0
)
{\displaystyle (4 \mid -5 \mid 0)}
(
2
|
−
2
|
1
)
{\displaystyle (2 \vert -2 \vert 1)}
NEIN:
JA:
6
∗
7
{\displaystyle 6 * 7}
Tests Du hast 20 m Zaun zur Verfügung und möchtest damit eine Wiese einzäunen.
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man damit einzäunen kann?
Text
Hier steht eine eingebettete Aufgabenstellung.
Text
|
x
+
42
y
−
z
=
1
4242
x
−
24
y
+
4
z
=
−
42
−
x
+
1
3
y
=
0
|
{\displaystyle \left\vert\begin{alignat}{7}
x &&\; + \;&& 42y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 \\
4242x &&\; - \;&& 24y &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -42\\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{3} y &&\; \;&& &&\; = \;&& 0
\end{alignat}\right\vert}
a
b
h
(
x
)
=
H
′
(
x
)
=
H
′
(
H
(
a
)
+
∫
a
x
h
(
t
)
d
t
)
=
H
′
(
a
)
+
H
′
(
∫
a
x
h
(
t
)
d
t
)
=
H
′
(
∫
a
x
h
(
t
)
d
t
)
=
H
′
(
H
(
x
)
−
H
(
a
)
)
{\displaystyle h(x) = H'(x) = H' \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'(a) + H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H' \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right) = H'\left(H(x)- H(a)\right)}
h
(
x
)
=
H
′
(
x
)
=
(
H
(
a
)
+
∫
a
x
h
(
t
)
d
t
)
′
=
H
′
(
a
)
+
(
∫
a
x
h
(
t
)
d
t
)
′
=
0
+
(
∫
a
x
h
(
t
)
d
t
)
′
=
(
H
(
x
)
−
H
(
a
)
)
′
=
H
′
(
x
)
−
H
′
(
a
)
{\displaystyle h(x) = H'(x) = \left( H(a) + \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right)' = H'(a) + \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right)' = 0 + \left( \int_{a}^{x} h(t)\, dt \right)' = \left(H(x)- H(a)\right)'=H'(x)- H'(a)}
AKreis
m3
Text
∫
a
b
{\displaystyle \int_a^b}
Text
x
1
2
{\textstyle x_1^2}
x
=
^
{\displaystyle x \widehat{=} }
