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==1) Sinus, Kosinus, Tangens - Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken==

1.1 Steigung einer Straße

Der Einstieg ist angelehnt an das Material des Landesbildungsservers BW https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe1/geometrie/trig/trigors/lernumgebung/index.html Es wurde unter der Lizenz CC BY veröffentlicht

Steigung 12%.png
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Steigung einer Straße anzugeben:

1. Angabe in Prozent Das Verkehrsschild gibt die Steigung einer Straße in Prozent an.
a) Was bedeutet die Angabe von 12% Steigung? Erkläre!

b) Gibt es eine Steigung, die größer als 100% ist?



2. Angabe mithilfe des Steigungsdreiecks und m

Die Steigung einer Geraden f(x) = mx + b gibt der Faktor m an. Dazu zeichnest du das Steigungsdreieck.
Steigungsdreieck 12%.png

m = = 0,12

Boxmath>\alpha</math>

Steigungswinkel.png

Das nachfolgende Applet zeigt diese drei Möglichkeiten noch einmal. Verändere die Steigung mithilfe des Schiebereglers und beobachte, was passiert.


Applet von holo2012

Versuche herauszufinden, welcher Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungsmöglichkeiten besteht.

1.     Verändere die Höhe und beobachte die anderen Angaben zur Steigung.

2.     Aktiviere das Kontrollkästchen "Steigung eines beliebigen Punktes auf der Straße" und verschiebe den Punkt P entlang der Straße.

Ergebnis: In den ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gilt:

Ähnliche Dreiecke.png

Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.


Bewege die Punkte B1, B2 und C1 und beobachte die Seitenverhältnisse.



Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken

In ähnlichen rechtwinkligen Dreiecken gilt:
Das Seitenverhältnis hängt nicht von der Größe der Dreiecke ab, sondern nur vom Winkel α.

Diesen Zusammenhang zwischen Winkelgröße und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck beschreiben die Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Katheten bezogen auf den Winkel (z.B. ) mit besonderen Namen: Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck.png

Sinus, Kosinus, Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck (mit =90°) bezeichnet man die Seitenverhältnisse wie folgt:

Sinus anschaulich.png
Kosinus anschaulich.png
Tangens anschaulich.png



Übung 1
Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben
  • 4
  • 6


Übung 2

Löse aus dem Buch

  • S. 91 Nr. 5
  • S. 91 Nr. 6
  • S. 110 Nr. 3

In den vorausgegangenen Übungen hast du jeweils die Seitenverhältnisse für Sinus, Kosinus und Tangens benannt. Wenn du die Länge der Seiten kennst, kannst du den Wert dieser Seitenverhältnisse berechnen.
Dieser hängt ab vom Winkel, wie oben erarbeitet.
Schau dazu das folgende Video an:

Sinus- und Kosinuswerte berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
Video laden
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Übung 3

Löse wie im Video aus dem Buch. Notiere die Seitenverhältnisse als Bruch und runde anschließend auf zwei Nachkommastellen.

  • S. 91 Nr. 1
  • S- 91 Nr. 2
Übung 4
Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben
  • 5
Was fällt dir auf?




Materialsammlung: Übungen auf der Seite Aufgabenfuchs



Steigungen mit dem Tangens berechnen | Fundamente der Mathematik | Erklärvideo
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