E-Learning Boxplot/Lernpfad E-Learning Boxplot

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Die Klassen GHR11A und GHR11B haben eine Klassenarbeit im Fach Biologie geschrieben. Folgendermaßen sind die Klassenabreiten ausgefallen:

GHR11A
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl 6 5 3 1 6 3
GHR11B
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl 0 6 7 11 0 0

Schauen Sie sich die Notenspiegel an und vergleichen Sie diese. Nun stellt sich die Lehrerin die Frage welche Klasse wohl besser ist. Was meinst du?

Um herauszufinden, welche kLasse besser ist, könnte der Klassendurchschnitt betrachtet werden. Auch, wenn wir bereits gelernt haben, dass das arithmetische Mittel nur bei metrischen Skalen sinnhaft ist, wird der klassendurchschnitt häufig mithilfe des arithmetischen Mittels bestimmt.

Welche Klasse ist besser (die sollen selbst drau

Aufgabe 1

Bestimmen Sie den Notendurchschnitt beider Klassen (arithmetisches Mittel).

Der Notendurchschnitt der GHR11A lautet: 3,2() (auf eine Nachkommastelle gerundet).

Der Notendurchschnitt der GHR11B lautet: 3,2() (auf eine Nachkommastelle gerundet).

Wir sehen also, dass das arithmetische Mittel das Problem nicht ausreichend beschreibt. Wir brauchen also ein anderes Instrument, um den Unterschied zwischen den Datensätzen darzustellen.

Der Boxplot

Ein Boxplot ist ein Diagramm, das die graphische Darstellung der wichtigsten fünf Lage- und Streuungsmaße anschaulich ermöglicht. Als erstes lernen wir nun diese fünf Maße kennen.

Minimum: Als Minimum wird der kleinste Wert in einem der Größe nach sortierten Datensatz bezeichnet.

Maximum: Als Maximum wird der größte Wert in einem der Größe nach sortierten Datensatz bezeichnet.

Spannweite: Als Spannweite wird der Abstand bzw. die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum bezeichnet.

Median: Der Median (oder Zentralwert) teilt einen Datensatz in zwei gleichgroße Hälften ein. Er ist die Zahl, die bei der Größe nach geordneten Zahlenwerten in der Mitte liegt. Hier können nun zwei Fälle unterschieden werden:

  1. Ist die Anzahl der Zahlenwerte ungerade, dann wird die mittlere Zahl ausgewählt.
  2. Ist die Anzahl der Zahlenwerte gerade, dann wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen.

Quartile: Quartile teilen einen nach der Größe sortierten Datensatz in vier gleichgroße Viertel ein (ähnlich wie beim Median, der es in zwei Hälften unterteilt). Bei Quartilen interessieren uns vor allem das erste Quartil (Q1) und das dritte Quartil (Q3). Das zweite Quartil haben wir bereits kennen gelernt, denn es ist der Median. Zur Bestimmung von Q1 und Q3 werden die durch des Median entstandenen Hälften noch einmal auf die selbe Weise unterteilt, wie wir es bereits beim Median gemacht haben:

  1. Ist die Anzahl der Zahlenwerte ungerade, dann wird die mittlere Zahl ausgewählt.
  2. Ist die Anzahl der Zahlenwerte gerade, dann wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen

Q1 wird häufig auch als unteres Quartil und Q3 als oberes Quartil bezeichnet.

Der Quartilsabstand ist der Abstand bzw. die Differenz zwischen Q1 und Q3.

Mit einem Boxplot ist es nun möglich, diese Größen anschaulich darzustellen:


Boxplot mit Lage- und Streumaße.png


Puh, das war viel auf einmal und sehr theoretisch. An einem Beispiel wird das ganze klarer.

Beispiel 1

Schauen wir uns doch einmal den Notenspiegel der GHR11B an.

GHR11B
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl 0 6 7 11 0 0

Anstatt des Notenspiegels betrachten wir nun die Notenliste(?). Zudem nummerieren wir die Zahlenwerte durch

Das Minimum und das Maximum können wir schnell ablesen

GHR11B
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Note 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Minimum: 2 Maximum: 4

Somit beträgt die Spannweite 2, denn die Differenz zwischen den Maximum (=4) und dem Minimum (=2) ist 2.

Da die Noten von 24 SchülerInnen angegeben sind, haben die eine gerade Anzahl an Zahlenwerten. Um den Median zu bestimmen, nehmen also den Durchschnitt vom 12. und 13. Zahlenwert.

GHR11B
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Note 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Da es sich bei beiden Zahlenwerten um die Zahl 3 handelt, lautet der Median 3.

Durch den Median erhalten wir nun zwei Häften:

GHR11B
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Note 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Um das erste und das dritte Quartil zu bestimmen teilen wir diese Hälften genauso, wie bei der Bestimmung des Medians. Jede Hälfte besteht aus 12 Zahlenwerten. Somit ist das erste Quartil der Durchschnitt vom 6. und 7. Zahlenwert und das 3. Quartil der Durchschnitt vom 18. und 19. Zahlenwert.

GHR11B
Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Note 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Das erste Quartil liegt also bei 2,5 und das dritte Quartil bei 4.

Nun haben wir alle notwendigen Größen bestimmt und sind in der Lage, den Boxplot zu diesem Beispiel darzustellen:

Datei:Boxplot GHR11B .png


Dies ist nun ein besonderer Boxplot, da sowohl das 3. Quartil als auch das Maximum bei 4 liegen. Aber was genau sagt ein Boxplot nun aus?

Deutung eines Boxplots

Die Quartile sind so definiert, dass zwischen dem ersten und dem viertel Quartil 50% der Zahlenwerte liegen.

Aufgabe: GHR11A

Wir haben an einem Beispiel gesehen, wie ein Boxplot erstellt wird. Die Aufgabe lautet nun einen Boxplot für die Biologiearbeit der Klasse GHR11A zu erstellen.

GHR11A
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl 6 5 3 1 6 3

Geben Sie die folgenden Größen an:

  • Minimum: 1()
  • Maximum: 6()
  • Spannweite: 5()
  • Median: 3()
  • Erstes Quartil: 1,5()
  • Drittes Quartil: 5()
  • Quartilsabstand: 3,5()


Quellen
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