"s" bedeutet Weg bzw. Strecke; v steht für Geschwindigkeit (engl. velocity)
Hier handelt es sich um eine quadratische Gleichung, da die Variable v quadriert wird (v²).
Berechne den Bremsweg, wenn das Auto mit einer Geschwindigkeit von 30km/h fährt, also v=30 und wenn es mit einer Geschwindigkeit von 50km/h unterwegs ist.
Was fällt dir auf?
Vor Schulen oder Kindergärten sollten die Bremswege möglichst kurz sein. Wie schnell darf ein Auto fahren, damit der Bremsweg höchstens 4m beträgt?
Wenn v=30 beträgt, ist sB = ()² = 3² = 9 (m)
Für v=50 ist sB = ()² = 5² = 25(m)
Der Bremsweg ist also bei 50 km/h deutlich länger als bei 30 km/h, denn er hängt vom Quadrat der Geschwindigkeit ab.
Hier ist s=4m gegeben, die Gleichung muss also nach v aufgelöst werden. Dies lernst du in diesem Lernpfad!
Du siehst: Mathe ist überall!
Du erarbeitest nun die Grundlagen zum Lösen solcher quadratischer Gleichungen.
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable in zweiter Potenz (also z.B. x²) vorkommt.
Erinnerung: Lineare Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable nur in erster Potenz (also z.B. x = x1) vorkommt.
Entscheide in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um eine quadratische Gleichung handelt oder nicht.
2) Wie löse ich quadratische Gleichungen?
Quadratische Gleichungen kannst du zeichnerisch und rechnerisch lösen. Nutze für die zeichnerische Lösung GeoGebra und prüfe so immer deine rechnerischen Lösungen. Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen. Die Lösungsstrategie hängt von der Form ab. Dies erklären die folgenden Kapitel.
2.1) Rein quadratische Gleichungen lösen
In der obigen Faustformel kommt die Variable v nur in quadratischer Form vor, also nur als v². Solche Gleichungen heißen "rein quadratisch".
Sie haben immer die Form ax² = d (hier umgeformt v² = sB)
Rein quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt:
ax² = d
Diese Gleichungen zu lösen hast du schon in der 9. Klasse gelernt. Wiederhole dein Wissen mithilfe der nachfolgenden Aufgaben.
Erinnerung: Gehe beim Lösen von Gleichungen immer "rückwärts" vor, also zuerst die Strichrechnung, dann die Punktrechnung, dann die Potenzen und Klammern. Rechne hier also zuerst +100, dann :3 und zum Schluss ziehe die Wurzel.
Bringe zunächst alle Terme mit x² auf eine Seite der Gleichung und dann alle Terme ohne Variable auf die andere Seite. Teile durch den Koeffizienten von x² und ziehe dann die Wurzel:
15x² - 2 = 6x² - 1 | -6x²
9x² - 2 = -1 | +2
9x² = 1 |:9
x² = |
Bei der letzten Aufgabe muss im letzten Schritt berechnet werden. Dies ist nicht möglich, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.
In den obigen Aufgaben erkennst du, dass eine rein quadratische Gleichung mehrere Lösungen haben kann: zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung.
Wovon hängt die Anzahl der Lösungen ab?
Erkläre und begründe mithilfe der nachfolgenden Beispiele:
Zwei Lösungen:
1. x² = 169 |
...
Eine Lösung:
2. 2x² + 10 = 10 |
...
Keine Lösung:
3. -3x² = 108 |
...
Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen
Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel):
Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn der Radikand positiv, null oder negativ ist.
Du kannst diese Gleichungen auch grafisch lösen:
Beispiel:
1. x² = 169 kannst du auch schreiben als x² - 169 = 0. Du berechnest also die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 169.
Übertrage die Zeichnung in dein Heft und erkläre die grafische Lösung.
Wie hilft dir das nachfolgende Applet bei der Lösung der Gleichung 0,5x² = 4,5 ? Erkläre im Heft!
Übung 3
Löse Buch
S. 35 Nr. 22
S. 35 Nr. 23
S. 35 Nr. 24 a, b
Nutze zur Lösung bzw. zur Kontrolle die obigen Applets von GeoGebra.
Löse die Gleichung und schau auf den Wert unter der Wurzel: Ist es eine positive Zahl gibt es zwei Lösungen, ist der Wert unter der Wurzel 0, so gibt es genau eine Lösung und ist der Wert unter der Wurzel negativ, gibt es keine Lösung.
Löse die Gleichungen zunächst nach x auf. Die Variable a befindet sich dann immer unter dem Wurzelzeichen. Nun betrachte den Wert unter der Wurzel und prüfe, für welche Werte von a dieser positiv, null oder negativ ist.
Beispiel a):
x² - a = 0 |+a
x² = a |
Hier gibt es zwei Lösungen, wenn a eine positive Zahl ist, also a>0.
x1 = ; x2 = -
Übung 4
Löse die Gleichungen ① x² - 2 = 0 und ② -2x² + 2 = 0 zeichnerisch. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Vergleiche deine Lösungen mit denen deines Partners.
1. Möglichkeit: Zeichne die Parabeln mithilfe einer Wertetabelle und lies die Nullstellen ab. 2. Möglichkeit: Forme die Gleichungen um in die Form ax² = d und zeichne die Parabel ax² und die Gerade y=d. Lies die Schnittpunkte ab.
Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.
2.2.1) Gleichungen der Form x² + bx = 0
Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.
Beginnen wir mit dem besonderen Fall, dass die Gleichung die Form x² + bx = 0 hat, es also keinen Term "ohne" Variable gibt und eine Seite den Wert 0 hat.
Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch Ausklammern
Hat die Gleichung die Form x² + bx = 0, so kannst du x ausklammern:
x² + bx = 0
x(x + b) = 0 Dieses Produkt wird nur 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist (Satz vom Nullprodukt), also
x = 0 oder x + b = 0 |-b
x1 = 0 oder x2 = -b.
Übung 5
Löse die nachfolgende App, indem du zunächst die Gleichung durch Ausklammern in die Produktform umwandelst.
Hier ist die Produktform schon gegeben. Es gilt wieder, dass ein Produkt nur 0 sein kann, wenn einer der Faktoren 0 ist:
(x + 4)(x + 5) = 0
x + 4 = 0 oder x + 5 = 0
x1 = -4 oder x2=-5.
2.2.2) Gleichungen der Form x² + bx + c = 0
Kannst du die folgenden Gleichungen lösen? Probiere aus und vergleiche deine Ideen mit denen deines Partners.
1. (x + 3)² = 0
Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, dann gilt x+3 = 0, also x = -3. Hier hilft wieder die zeichnerische Lösung: Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=(x+3)².
Hier siehst du auch, warum die Gleichung nur eine Lösung hat.
Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (1.binomische Formel)? x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen:
x² + 6x + 9 = 0 |1. bin. Formel
(x + 3)² = 0 |
x + 3 = 0 -3
x1= -3
Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (2.binomische Formel)? x² - 10x + 25 = (x - 5)²
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen:
x² - 10x + 25 = 0 |1. bin. Formel.
(x - 5)² = 0 |
x - 5 = 0 +5
x1= 5
Nutze die Idee aus den ersten drei Beispielen. Du "wünscht" dir eine binomische Formel!
x² + 10x + 30 = 0 Der Anfang des Terms x² + 4x passt zur ersten binomische Formel. Leider passt die Zahl -5 nicht. Forme die Gleichung zunächst so um, dass der Teil der binomische Formel auf einer Seite und die Zahl auf der anderen Seite der Gleichung steht. Ergänze dann den für die binomische Formel fehlenden Term. Löse diese Gleichung dann wie in den Beispielen 1 - 3.
x² + 6x - 16 = 0 |+16
x² + 6x = 16 |quadratische Ergänzung: Es fehlt für die 1. bin. Formel =3²
x² + 6x + 9 = 16 + 9 |1. bin. Formel
(x + 3)² = 25 |
x + 3 = 5 oder x + 3 = -5
x = 2 oder x = -8
Kommt in der Gleichung neben x² und x auch noch ein Term ohne x vor, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung
Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:
Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c. Mithilfe der quadratischen Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.
2.3) Allgemein quadratische Gleichungen lösen
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Du kannst diese Gleichungen auch grafisch lösen:
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