Herta-Lebenstein-Realschule/Lernpfad Gleichungen (mit Klammern)/1) Gleichungen mit Klammern

Idee

Landwirt Mertens hat bisher eine quadratische Weide für seine paar Schafe. Da nun an dieser Stelle eine Landstraße ausgebaut werden soll, fragt die Stadt den Landwirt, ob er ein flächengleiches, rechteckiges Grundstück auf der anderen Seite seines Bauernhofes gegen seine quadratische Weide tauschen würde. Diese Weide ist zwar vier Meter kürzer, dafür aber sechs Meter länger.

Landwirt Mertens überlegt:

1. Hilf ihm und finde die Maße der Weiden heraus. Bearbeite diese Aufgabe in deinem Heft. Wenn du nicht weißt, wie du vorgehen sollst, schaue dir nach und nach die Tipps unten an.
2. Wie bist du vorgegangen, um die mathematische Gleichung zu lösen? Notiere deine Vorgehensweise im Heft.

Was ist gegeben?

zwei flächengleiche Flächen (Quadrat und Rechteck)

x = Seitenlänge der quadratischen Weide

x - 4 = eine Seitenlänge der rechteckigen Weide (3m kürzer)

x + 6 = andere Seitenlänge der rechteckigen Weide (5m länger)

Versuche nun eine Gleichung aufzustellen.

Die beiden Weiden sind flächengleich, d.h. ihr Flächeninhalt ist gleich.

Benutze zum Aufstellen der Gleichung die Formeln für die Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats und eines Rechtecks.

Beide Flächen sind gleich groß, daher lautet die Gleichung:

x² = (x – 4) (x + 6)

Versuche nun x zu berechnen. Löse hierfür zunächst die Klammern auf.

Du hast nun herausgefunden, dass die Länge und Breite der quadratischen Weide je 12m beträgt. Damit kannst du jetzt die Seitenlängen der rechteckigen Weide berechnen. Setze hierfür x = 12 in deine aufgestellten Terme ein:

• x - 4 (eine Seitenlänge des Rechtecks)
• x + 6 (andere Seitenlänge des Rechtecks)

Merke

Vorgehensweise zum Lösen von Gleichungen mit Klammern

1. Löse die Klammern auf. (z.B. durch ausmultiplizieren, Plus- bzw. Minusklammern auflösen)
2. Fasse die Terme auf beiden Seiten zusammen.
3. Bringe die Summanden mit Variablen (z.B. 2x) und die Summanden ohne Variablen (z.B. 5) jeweils auf eine Seite, fasse sie zusammen bzw. ordne sie.
4. Dividiere durch den Koeffizienten der Variable. (z.B. Der Koeffizient von 4x ist 4.)

Beispiel: