Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Wachstum

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Wachstum und Abnahme

Überlegt, wo es in eurer Umgebung Wachstum bzw. Abnahme gibt.

Gibt es ein Modell, das dieses Wachstum beschreibt?


Wachstum und Abnahme

Wir sprechen von positivem Wachstum, wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert größer ist als der alte Wert.
Wir sprechen von negativem Wachstum oder auch Abnahme, wenn in gleichen Zeitabschnitten der neue Wert kleiner ist als der alte.
Die Zu- bzw. Abnahme kann absolut oder prozentual angegeben werden.

absoluter Wert: d = neue Größe - alte Größe = W1 - W0
prozentual: p% =

Die prozentuale Zu- bzw. Abnahme eines Wertes innerhalb einer Zeitspanne heißt Wachstumsrate p%.


Übung 1: Wachstum

Löse aus dem Buch

  • S. 69 Nr. 2


1 Lineares und exponentielles Wachstum

Sparmodell (vgl. Zinseszins) Erinnerung: Sparmodelle

1) Einstieg: Sparschwein

Sparschwein
Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.
Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich anlegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.


1. Möglichkeit:
Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre Guthaben(€)
0 1000
1 1050
2 1100
3 1150
... ...
18 ...
2. Möglichkeit:
Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.

K = 1000€; p% = 5% = 0,05

Jahre Guthaben(€)
0 1000
1 1050
2 1102,50
3 1157,625
... ...
18 ...

Beispielrechnung mit p% = 2% = 0,02


Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?

Kapital nach 18 Jahren:

K18 = ...

Kapital nach 18 Jahren:

K18 = ...


Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins

Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals.
blau: einfache Verzinsung
rot: Zinseszins

Was fällt dir auf?

nach Pöchtrager


Lineares und exponentielles Wachstum
Lineares Wachstum:

Wn = W0 + d·n

mit dem Anfangswert W0 und der gleichmäßigen Zunahme bzw. Abnahme d.


Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:
y = a + mx
a ist der Anfangswert, m ist die gleichmäßige Zu-bzw. Abnahme.

Exponentielles Wachstum:

Wn = W0 · qn

mit dem Anfangswert W0 und dem Wachstumsfaktor
q = 1 ± p%.

Du kannst die Gleichung auch als Funktionsgleichung notieren:
y = a · qx

a ist der Anfangswert, q ist der Wachstumsfaktor.





Übung 1: Lineares und exponentielles Wachstum

Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum. Bearbeitet dazu die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs und die nachfolgenden LearningApps.




Übung 2: Lineares oder exponentielles Wachstum (Wertetabelle)

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 74, Nr. 7
  • S. 82, Nr. 5 (a-d)


2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wachstumsrate und Wachstumsfaktor

Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz Wachstumsrate p%.
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr um 5% . Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.
Das Kapital wächst also auf das 1,05-Fache.
Dies ist der Wachstumsfaktor q = 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:
q = 100% + p%
Den neuen Wert W1 berechnest du also mit der Gleichung:

W1 = W0 · q



Übung 3
Löse die nachfolgenden LearningApps.


Beispiele
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.
Geg: W0 = 550; Wachstumsrate p% = 8%
Ges: W1 ; q
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.
Wachstumsfaktor q             q = 1 + p%    
           Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:
W1 = W0 ∙ q              
W1= 550 ∙ 1,08
   = 594 (Schüler)
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.

2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2017 bis 2018 von 540 auf 567. Bestimme die Wachstumsrate.
Geg: W0 = 540; W1 = 567
Ges: p% Wachstumsrate
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:
Wachstumsrate:     p% =   =  = 0,05 = 5%
Wachstumsfaktor: q =   =  = 1,05        (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05           ( Probe: 540 ∙ 1,05 = 567)



Übung 4
Löse die nachfolgenden LearningApps.




Übung 5

Löse die Aufgaben aus dem Buch.

  • S. 71 Nr. 1 a,b,c
  • S. 71 Nr. 2
  • S. 82 Nr. 1
  • S. 82 Nr. 2