Buss-Haskert/Quadratische Gleichungen

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Lernpfad Quadratische Gleichungen

In diesem Lernpfad lernst du

• was quadratische Gleichungen sind,
• wie du quadratische Gleichungen lösen kannst,
• wie du Anwendungsaufgaben mithilfe von quadratischen Gleichungen löst.
  

Bearbeite die Schritte des Lernpfades selbständig. Stelle Fragen, wo du unsicher bist. Achte auf die Zeit!!

In der Fahrschule lernst du eine Faustformel für die Berechnung des Bremsweges:

Bremsweg in m:   s_B = ($\tfrac{v}{10}$)²

"s" bedeutet Weg bzw. Strecke; v steht für Geschwindigkeit (engl. velocity)

Hier handelt es sich um eine quadratische Gleichung, da die Variable v quadriert wird (v²).

Berechne den Bremsweg, wenn das Auto mit einer Geschwindigkeit von 30km/h fährt, also v=30 und wenn es mit einer Geschwindigkeit von 50km/h unterwegs ist.

Was fällt dir auf?
Vor Schulen oder Kindergärten sollten die Bremswege möglichst kurz sein. Wie schnell darf ein Auto fahren, damit der Bremsweg höchstens 4m beträgt?

Wenn v=30 beträgt, ist s_B = ($\tfrac{30}{10}$)² = 3² = 9 (m)
Für v=50 ist s_B = ($\tfrac{50}{10}$)² = 5² = 25(m)
Der Bremsweg ist also bei 50 km/h deutlich länger als bei 30 km/h, denn er hängt vom Quadrat der Geschwindigkeit ab.

Hier ist s=4m gegeben, die Gleichung muss also nach v aufgelöst werden. Dies lernst du in diesem Lernpfad!

Du siehst: Mathe ist überall! Du erarbeitest nun die Grundlagen zum Lösen solcher quadratischer Gleichungen.

1) Was sind quadratische Gleichungen?

Quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable in zweiter Potenz (also z.B. x²) vorkommt.

Erinnerung: Lineare Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable nur in erster Potenz (also z.B. x = x¹) vorkommt.

Entscheide in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um eine quadratische Gleichung handelt oder nicht.

2) Wie löse ich quadratische Gleichungen?

Quadratische Gleichungen kannst du zeichnerisch und rechnerisch lösen. Nutze für die zeichnerische Lösung GeoGebra und prüfe so immer deine rechnerischen Lösungen. Es gibt verschiedene Formen quadratischer Gleichungen. Die Lösungsstrategie hängt von der Form ab. Dies erklären die folgenden Kapitel.

2.1) Rein quadratische Gleichungen lösen

In der obigen Faustformel kommt die Variable v nur in quadratischer Form vor, also nur als v². Solche Gleichungen heißen "rein quadratisch". Sie haben immer die Form ax² = d (hier umgeformt $\tfrac{1}{100}$v² = s_B)

Rein quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung heißt rein quadratisch, wenn die Variable ausschließlich in der zweiten Potenz vorkommt:

    ax² = d

Diese Gleichungen zu lösen hast du schon in der 9. Klasse gelernt. Wiederhole dein Wissen mithilfe der nachfolgenden Aufgaben.

Übung 1

Löse Buch

• S. 32 Nr. 10
• S. 35 Nr. 18
• S. 35 Nr. 19
• S. 35 Nr. 20

Erinnerung: Gehe beim Lösen von Gleichungen immer "rückwärts" vor, also zuerst die Strichrechnung, dann die Punktrechnung, dann die Potenzen und Klammern.
Rechne hier also zuerst +100, dann :3 und zum Schluss ziehe die Wurzel.

Bringe zunächst alle Terme mit x² auf eine Seite der Gleichung und dann alle Terme ohne Variable auf die andere Seite. Teile durch den Koeffizienten von x² und ziehe dann die Wurzel:
15x² - 2 = 6x² - 1 | -6x²
9x² - 2 = -1 | +2
9x² = 1 |:9
x² = $\tfrac{1}{9}$ |$\surd$

x₁ = $\tfrac{1}{3}$ ; x₂ = -$\tfrac{1}{3}$

Beseitige zunächst die Brüche, indem du mit dem Nenner multiplizierst.
Beispiel a):
$\tfrac{x^2}{3}$ = 12 |∙3
x² = 36 |$\surd$

x₁ = 6 ; x₂ = -6

Übung 2

Löse die nachfolgende App.

Was ist die bei der letzten Aufgabe aufgefallen?

Bei der letzten Aufgabe muss im letzten Schritt $\sqrt{-2}$ berechnet werden. Dies ist nicht möglich, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.

In den obigen Aufgaben erkennst du, dass eine rein quadratische Gleichung mehrere Lösungen haben kann:
zwei Lösungen, eine Lösung oder keine Lösung. Wovon hängt die Anzahl der Lösungen ab? Erkläre und begründe mithilfe der nachfolgenden Beispiele:

Zwei Lösungen:

1. x² = 169  |

...

Eine Lösung:

2. 2x² + 10 = 10  |

...

Keine Lösung:

3. -3x² = 108  |

...

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel):

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn der Radikand positiv, null oder negativ ist.

Du kannst diese Gleichungen auch grafisch lösen:
Beispiel:
1. x² = 169 kannst du auch schreiben als x² - 169 = 0. Du berechnest also die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 169.

Übertrage die Zeichnung in dein Heft und erkläre die grafische Lösung.

Wie hilft dir das nachfolgende Applet bei der Lösung der Gleichung 0,5x² = 4,5 ? Erkläre im Heft!

Übung 3

Löse Buch

• S. 35 Nr. 22
• S. 35 Nr. 23
• S. 35 Nr. 24 a, b
  

Nutze zur Lösung bzw. zur Kontrolle die obigen Applets von GeoGebra.

Löse die Gleichung und schau auf den Wert unter der Wurzel: Ist es eine positive Zahl gibt es zwei Lösungen, ist der Wert unter der Wurzel 0, so gibt es genau eine Lösung und ist der Wert unter der Wurzel negativ, gibt es keine Lösung.

Nutze zur Lösung das obige Geogebra-Applet.

Löse die Gleichungen zunächst nach x auf. Die Variable a befindet sich dann immer unter dem Wurzelzeichen. Nun betrachte den Wert unter der Wurzel und prüfe, für welche Werte von a dieser positiv, null oder negativ ist.
Beispiel a):
x² - a = 0 |+a x² = a |$\surd$
Hier gibt es zwei Lösungen, wenn a eine positive Zahl ist, also a>0.

x₁ = $\sqrt{a}$; x₂ = -$\sqrt{a}$

Übung 4

Löse die Gleichungen ① $\dfrac{1}{2}$x² - 2 = 0 und ② -2x² + 2 = 0 zeichnerisch. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Vergleiche deine Lösungen mit denen deines Partners.

1. Möglichkeit: Zeichne die Parabeln mithilfe einer Wertetabelle und lies die Nullstellen ab.
2. Möglichkeit: Forme die Gleichungen um in die Form ax² = d und zeichne die Parabel ax² und die Gerade y=d. Lies die Schnittpunkte ab.

1. Möglichkeit:

2. Möglichkeit:

2.2) Gemischt quadratische Gleichungen lösen

Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.

2.2.1) Lösen durch Ausklammern: Gleichungen der Form x² + bx = 0

Eine Gleichung heißt "gemischt quadratisch", wenn die Variable in der zweiten Potenz (z.B. x²) und in einfacher Potenz (z.B. x) vorkommt.
Beginnen wir mit dem besonderen Fall, dass die Gleichung die Form x² + bx = 0 hat, es also keinen Term "ohne" Variable gibt und eine Seite den Wert 0 hat.

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch Ausklammern

Hat die Gleichung die Form x² + bx = 0, so kannst du x ausklammern:
x² + bx = 0
x(x + b) = 0   Dieses Produkt wird nur 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist (Satz vom Nullprodukt), also
x = 0 oder x + b = 0 |-b

x₁ = 0 oder x₂ = -b.

Übung 5

Löse die nachfolgende App, indem du zunächst die Gleichung durch Ausklammern in die Produktform umwandelst.

Übung 6

Löse Buch

• S. 28 Nr. 14
• S. 28 Nr. 15
• S. 30 Nr. 8

Bringe die Gleichung zunächst in die Form x² + bx = 0 und löse dann wie in der LearningApp.

c) x² = 3x |-3x
x² - 3x = 0

Klammere nun x aus (wie in Übung 4)

2x² + 5x = 0 |Klammere 2x aus.
2x(x + 2,5) = 0 |Nullprodukt
2x = 0 oder x + 2,5 = 0

Den letzten Schritt schaffst du allein!

Bringe erst alle Terme auf die linke Seite, damit die rechte Seite den Wert 0 hat. Löse dann wie in 14d

Hier ist die Produktform schon gegeben. Es gilt wieder, dass ein Produkt nur 0 sein kann, wenn einer der Faktoren 0 ist:
(x + 4)(x + 5) = 0
x + 4 = 0 oder x + 5 = 0

x₁ = -4 oder x₂=-5.

2.2.2) Lösen durch quadratische Ergänzung: Gleichungen der Form x² + bx + c = 0

Kannst du die folgenden Gleichungen lösen? Probiere aus und vergleiche deine Ideen mit denen deines Partners.
1. (x + 3)² = 0

2. x² + 6x + 9 = 0

3. x² -10x + 25 = 0

4. x² +8x + 7 = 0

Ziehe auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel, dann gilt x+3 = 0, also x = -3.
Hier hilft wieder die zeichnerische Lösung: Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x)=(x+3)².

Hier siehst du auch, warum die Gleichung nur eine Lösung hat.

Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (1.binomische Formel)? x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen:
x² + 6x + 9 = 0  |1. bin. Formel
(x + 3)² = 0   |$\surd$
x + 3 = 0  |-3
x₁= -3

Erinnerung: Die binomischen Formeln
1. binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b²
Du benötigst für die quadratische Ergänzung die 1. und 2. binomische Formel.

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Erkennst du, dass der Term ein Binom ist (2.binomische Formel)? x² - 10x + 25 = (x - 5)²
Wandle also den Term um und löse durch Wurzelziehen:
x² - 10x + 25 = 0  |1. bin. Formel.
(x - 5)² = 0   |$\surd$
x - 5 = 0  |+5
x₁= 5

Erinnerung: Die binomischen Formeln
1. binomische Formel (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. binomische Formel (a - b)² = a² - 2ab + b²
3. binomische Formel (a + b)(a - b) = a² - b²
Du benötigst für die quadratische Ergänzung die 1. und 2. binomische Formel.

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Nutze die Idee aus den ersten drei Beispielen. Du "wünscht" dir eine binomische Formel!
x² + 8x + 7 = 0 Der Anfang des Terms x² + 8x passt zur ersten binomische Formel. Leider passt die Zahl +7 nicht. Forme die Gleichung zunächst so um, dass der Teil der binomische Formel auf einer Seite und die Zahl auf der anderen Seite der Gleichung steht. Ergänze dann den für die binomische Formel fehlenden Term. Löse diese Gleichung dann wie in den Beispielen 1 - 3.
x² + 8x + 7 = 0  |+16
x² + 8x = -7    |quadratische Ergänzung: Es fehlt für die 1. bin. Formel $\left ( \frac{8}{2} \right )^2$=4²
x² + 8x + 16 = -7 + 16   |1. bin. Formel
(x + 4)² = 9   |$\surd$
x + 4 = 3   oder x + 4 = -3

x = -1 oder x = -7

Kommt in der Gleichung neben x² und x auch noch ein Term ohne x vor, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Gemischt quadratische Gleichungen lösen durch quadratische Ergänzung

Hat die Gleichung die Form x² + bx + c = 0, löst du die Gleichung mithilfe der quadratischen Ergänzung:

Stelle die Gleichung um: x² + bx = -c.
Mithilfe der quadratischen Ergänzung $\left ( \frac{b}{2} \right )^2$ auf beiden Seiten der Gleichung, wird dann der Term x² + bx zu einem Binom umgeformt. Dann wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.

Schau das Video zur Beispielaufgabe an. Schreibe das Beispiel in dein Heft und mache dir Notizen zu jedem Schritt der Lösung.

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Übung 6

Nun bist du an der Reihe. Löse mit der quadratischen Ergänzung

• S. 27 Nr. 3 .
  

Drehe zu einer deiner Lösungen ein Video, ähnlich wie das Video oben und lade es auf IServ in den Mathematik-Order eurer Klasse hoch.
Falls dir diese Aufgabe noch zu schwer ist, bearbeite zunächst die LearningApps unten und löse die Aufgaben danach.

Vorübungen zu Übung 6

Übung 7

Löse mit quadratischer Ergänzung Buch

• S. 27 Nr. 2
• S. 27 Nr. 4
• S. 27 Nr. 5

Bringe zunächst die Terme mit Variable auf eine Seite der Gleichung und den Term ohne Variable auf die andere Seite. Bestimme dann die quadratische Ergänzung und löse wie in Übung 6

x² + 6x + 9 = 25 |-9
x² + 6x = 16   |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{6}{2} \right )^2$=3²
x² + 6x + 3² = 16 + 3² |1. binomische Formel
(x + 3)² = 25   |$\surd$
x + 3 = 5 oder x + 3 = -5
x = 2 oder x = -8

Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.

Bringe die Gleichung zunächst in die Form, dass auf der einen Seite die Terme mit Variable stehen und auf der anderen Seite der Term ohne Variable. Dabei muss das Vorzeichen von x² positiv sein.

10 - x² = 3x  |+x²
10 = x² + 3x  |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{3}{2} \right )^2$=1,5²
10 + 1,5² = x² + 3x + 1,5² | 1. binomische Formel
12,25 = (x + 1,5)²   |$\surd$
3,5 = x + 1,5 oder-3,5 = x + 1,5
x = 2 oder x = -5

Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.

Bringe die Gleichung zunächst in die Form, dass auf der einen Seite die Terme mit Variable stehen und auf der anderen Seite der Term ohne Variable. Dabei muss das Vorzeichen von x² positiv sein.

5x² + 14 + 4x = 6x² + 3x - 6  |-5x²
14 + 4x = x² + 3x - 6   |-4x
14 = x² - x - 6   |+6
20 = x² - x  |quadratische Ergänzung $\left ( \frac{1}{2} \right )^2$=0,5²
20 + 0,5² = x² - x + 0,5² | 2. binomische Formel
20,25 = (x - 0,5)²   |$\surd$
4,5 = x - 0,5 oder-4,5 = x - 0,5
x = 5oder x = -4

Löse die folgenden Aufgaben entsprechend.

2.2.3) Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel

Mit der quadratischen Ergänzung kannst du gemischt quadratische Gleichungen lösen. Eine weitere Möglichkeit ist die Anwendung der Lösungsformel: Die p-q-Formel.

Damit diese Formel angewendet werden darf, muss die gemischt quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform gegeben sein:
x² + px + q = 0

Die Struktur muss also so sein, dass die Zahl 1 der Koeffizient von x² ist (also "nichts" vor x² steht, die 1 können wir uns denken) und die andere Seite der Gleichung 0 ist. Dann ist p der Koeffizient von x (also die Zahl vor x) und q ist die Zahl ohne Variable.

Diese Formel wird hergeleitet mithilfe der quadratischen Ergänzung. Wir leiten die Formel parallel zu einer Beispielaufgabe oben her:

Lösen mit der Lösungsformel: p-q-Formel

Jede quadratische Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen. Dazu muss die Gleichung zunächst in die Normalform x² + px + q = 0 umgeformt werden. Dann werden die Werte für p und q bestimmt und in die Formel eingesetzt:
x_1/2 = -$\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$

Achte dabei auf die Vorzeichen von p und q.

Übe zunächst das Umstellen der Gleichung ein die Normalform und die Bestimmung von p und q.

Präge dir die Lösungsformel ein mit dem Lied von Dorfuchs. Höre es so oft, bis es ein Ohrwurm wird:

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Löse die nächsten Aufgaben mit der Lösungsformel. Schreibe wie im Beispiel:

x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$=-11; -$\tfrac{p}{2}$=11; q=72
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{121-72}$
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{49}$
x_1/2 = 11$\pm$7
x₁ = 18; x₂ = 4

Kurzschreibweise:
x² - 22x + 72 = 0  |Setze ein: p=-22; $\tfrac{p}{2}$=-11; -$\tfrac{p}{2}$=11; q=72
x_1/2 = 11$\pm\sqrt{11^2-72}$
x_1/2 = 11$\pm$7
x₁ = 18; x₂ = 4

Übung 8

Löse mit der p-q-Formel Buch

• S. 30 Nr. 1
• S. 30 Nr. 2
• S. 32 Nr. 15

Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.

2.3) Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Im Unterschied zur Normalform ist hier der Koeffizient von x² eine beliebige Zahl a.

Ordne in der nachfolgenden LearningApp, ob es sich um die Normalform oder die allgemeine Form quadratischer Gleichungen handelt.

Jede quadratische Gleichung lässt sich in die Normalform x² + px + q = 0 umformen. Dann können wir wieder die p-q-Formel zur Lösung anwenden.

Allgemein quadratische Gleichungen lösen

Allgemein quadratische Gleichungen sind Gleichungen in der Form ax² + bx + c = 0.
Alle quadratischen Gleichungen lassen sich umformen in die Normalform x² + px + q = 0. Dann kann wieder die p-q-Formel zur Lösung angewendet werden.
1. Schritt: Forme in die Normalform x² + px + q = 0 um.

2. Schritt: Wende die p-q-Formel x_1/2 = -$\tfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q}$ an.

Übe zunächst das Umwandeln in die Normalform:

Ein Video zur Zusammenfassung:

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Übung 9

Löse Buch

• S. 30 Nr. 3
• S. 30 Nr. 4

Wandle die Gleichungen zunächst in die Normalform um und wende dann die p-q-Formel an.

Du hast in der obigen LearningApp schon die allgemeine Form in die Normalform umgewandelt. Damit kannst du Nr. 3 lösen

Forme die Gleichung zunächst so um, dass eine Seite = 0 ist.
Bringe diese Gleichung dann in die Normalform, indem du durch den Koeffizienten von x² dividierst.

Normalform a) x² + 9x - 52 = 0
b) x²-$\tfrac{1}{2}$x-5=0

c) x² -3x -70 = 0

Prüfe deine Lösungen mithilfe des GeoGebra-Applets. Erinnerung: Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der zugehörigen Funktion.

Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen quadratischer Gleichungen hängt vom Radikand ab(vom Wert unter der Wurzel). Der Radikand $\left ( \frac{p}{2} \right )^2-q$ wird Diskrimimante D genannt.
Die Anzahl der Lösungen ist abhängig von D.

Die Gleichung hat zwei Lösungen, eine oder keine Lösung, wenn die Diskriminante D positiv, null oder negativ ist.

Beispiele:

D > 0, zwei Lösungen:

1. x² + 6x + 5 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 5$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-5}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{4}$  D = 4 (positiv)
x_1/2 = -3$\pm$2   x₁ = -1 ; x₂ = -5

D = 0,eine Lösung:

2. x² + 6x + 9 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 9$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-9}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{0}$  D = 0
x_1/2 = -3$\pm$0

D < 0,keine Lösung:

3. x² + 6x + 10 = 0  |$\tfrac{p}{2} = 3; q = 10$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{3^2-10}$
x_1/2 = -3$\pm\sqrt{-1}$  D < 0 (negativ)

$\sqrt{-1}$ ist nicht lösbar, da das Quadrat einer Zahl niemals negativ ist, also die Wurzel nie aus einer negativen Zahl gezogen werden kann.

Übung 10

Löse Buch

• S. 35 Nr. 22
• S. 30 Nr. 10

Vermischte Übungen

Wähle Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs Nr. 1 - 19 .

3) Anwendungsaufgaben

Anwendungsaufgaben lassen sich schrittweise lösen mithilfe eines Modells. Dabei wird die reale Situation (Sachsituation) in ein vereinfachtes mathematisches Modell übersetzt. Nun können wir diese Rechnung lösen. Die mathematische Lösung wird dann auf die Realität bezogen und die Ergebnisse werden zur Bewertung der Situation genutzt.

Der nachfolgende Kreislauf veranschaulicht dies:

Häufig geht es in Anwendungsaufgaben mathematisch darum, die Nullstellen von Parabeln zu bestimmen. Dazu nutzt du dein Wissen zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Vermischte Übungen

Wähle Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

• Nr. 39 und
• Nr. 40 .

Um Aufgaben zu geometrischen Anwendungen zu lösen, helfen dir die nachfolgenden Schritte:
1. Gib die Bedeutung der Variablen an. Bei geometrischen Anwendungen zeichne eine Skizze und beschrifte sie vollständig.
2. Stelle Terme zu den Angaben im Text auf.
3. Stelle eine Gleichung auf.
4. Löse die Gleichung
5. Probe
6. Antwort

Übung 11

Löse Buch

• S. 35 Nr. 26
• S. 35 Nr. 27
• S. 35 Nr. 28