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partielle Integration
Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.
Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:
Dabei ist
das ursprüngliche Integral.
ist die leicht zu integrierende Funktion.
![{\displaystyle g(x) }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=3d4d2beeebd5a49405ef67744141a746&mode=mathml)
ist die leicht abzuleitende Funktion.
Falls du eine ausführliche Erklärung mit einem Beispiel benötigst,klicke hier.
Beispiel zur partielle Integration :
lässt sich leicht integrieren. Also
und
lässt sich leicht ableiten. Also
und
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden:
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von
lautet somit:
Integration durch Substitution
{LearningApp|width:100%|height:500px|app=p0v4crp2j20}
Beispiel für Integration durch Substituion
Aufgaben
Übung 1
Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?
a)
Nutze die partielle Integration
Setze die leicht abzuleitende Funktion
![{\displaystyle g(x)=x }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=627b722ce9cd582caead5048ac1e2279&mode=mathml)
und die leicht zu integrierende Funktion
![{\displaystyle f'(x)=sin(2x)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=9bad040eea7719027a43b3fd2ada43fd&mode=mathml)
![{\displaystyle F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x*cos(2x)}{2} + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=96652eab41261bb0c8d9c2a51bed7647&mode=mathml)
b)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion
![{\displaystyle g(x)=x^2 = z }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=68bf11c270096f5ead849f29ae746310&mode=mathml)
und leite sie nach x ab
![{\displaystyle \int x*e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5c132327d8f36bf7530efac010864c91&mode=mathml)
![{\displaystyle F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=76b6fbda0c9bd1e26edcd482594f37d8&mode=mathml)
c)
Nutze die Integration durch Substitution
Setze die innerer Funktion
![{\displaystyle g(x)= a-e^x = z }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=e23083fe6071bde140703442a2b7055f&mode=mathml)
und leite sie nach x ab
![{\displaystyle F(x)= - ln(|a-e^x|) + C }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c283afd70dd822ca8a6ad269066a98d7&mode=mathml)
Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis
In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen
![{\displaystyle f(x)=- \frac{x}{2} + 2 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=49ec7a8051c0f190d4c7310964d4630d&mode=mathml)
und
![{\displaystyle g(x)= x^4- \frac{15}{4} * x^2 - 1 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a1043653d192d38c4dea1364167aa96a&mode=mathml)
das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber (
![{\displaystyle 1 cm^2 }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=caeebe96f36d81e411afa1e9ff57ac9d&mode=mathml)
Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?
Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt:
![{\displaystyle \int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=89385d2c57d6e878434d9b3a185a372b&mode=mathml)
Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.
Wenn du die Fläche des Logos
![{\displaystyle A_{Logo} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5b392d2229795086526dc7e984f1e51c&mode=mathml)
wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das
![{\displaystyle V_{Logo}}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=cc75779343f59dda7f7bec14c8004a6a&mode=mathml)
nun durch das Produkt von
![{\displaystyle A_{Logo} }](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=5b392d2229795086526dc7e984f1e51c&mode=mathml)
und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen
Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.
Spielwiese
Schreiben im Wiki
Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.
Vorlagen
Ganz einfach per Mausklick aktivierbar
Dateien
Bild aus ZUM Projekte:
Bild aus Wikipedia:
Kombinationen
Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform
(Inhalte aus dem Lernpfad Quadratische Funktionen erkunden)
Merke
Terme quadratischer Funktionen können in der Form
angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten
.
Der Parameter "
![{\displaystyle a}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661&mode=mathml)
"
Was passiert, wenn man statt der Funktion
folgende Funktionen gegeben hat:
- (1)
, (2)
und (3)
?
a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).
Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von
![{\displaystyle y=x^2}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=6e3935bb1907e05aef6649527518e040&mode=mathml)
vergleichen.
b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?
In dem Applet ist die Normalparabel
grau eingezeichnet. Du kannst verschiedene Werte für "
" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph
verändert.
Aufgabe 2
a) Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.
Aufgabe 3
Finde Werte für a, d und e, so dass
die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.
Interaktive Applets
LearningApp:
Geogebra-Applet: