Schreibe die Aufgabe und beide Möglichkeiten in dein Heft. Fülle die Tabelle aus.
Deine Oma schenkt dir zu deiner Geburt 1000€. Nun muss sie entscheiden, wie sie das Geld für dich angelegt. Die Bank bietet ihr einen Zinssatz von 5% an. Berechne, wie viel Geld du mit 18 Jahren bekämst. Übertrage die beiden Möglichkeiten in dein Heft und fülle die Tabelle aus.
1. Möglichkeit: Sie lässt sich die Zinsen jedes Jahr auszahlen und spart sie in einem Sparschwein.
K = 1000€; p% = 5% = 0,05
Jahre
Guthaben(€)
0
1000
1
1050
2
1100
3
1150
...
...
18
...
2. Möglichkeit: Sie lässt die Zinsen auf dem Sparbuch und fügt sie so jährlich dem Kapital zu.
Kannst du eine Formel angeben, mit der du den Endbetrag berechnen kannst?
Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...
Kapital nach 18 Jahren:
K18 = ...
Unterschiede zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszins
Notiere Stichpunkte in deinem Heft, wie sich die einfache Verzinsung in der ersten Möglichkeit vom Zinsenzins der zweiten Möglichkeit unterscheidet. Nutze dazu auch nachfolgende Applet.
Stelle einen Wert für den Zinssatz p% mit dem Schieberegler ein. Dann ziehe den Schieberegler für die Zeit t und beobachte den Verlauf des Kapitals.
blau: einfache Verzinsung
rot: Zinseszins
Was fällt dir auf?
nach Pöchtrager
Hefteintrag: Zinseszins
Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel Kn = K0 ∙ (1+p%)n
= K0 ∙ qn mit q = 1+p%
Beispiel:
geg: K0 = 1000€ (Startkapital, null Jahre); p% = 5% = 0,05; q = 1 + p% = 1 + 0,05 = 1,05; n = 18 Jahre
ges: Kn (Kapital nach n Jahren)
K18 = 1000 ∙ 1,0518
= 2406,62 (€)
Nach 18 Jahren ist das Kapital auf 2406,62 € angewachsen.
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 18):
Das nachfolgende Video erklärt noch einmal den Zusammenhang zwischen p% und q.
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein sogenanntes exponentielles Wachstum.
2 Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
Wird die Zunahme bzw. Abnahme in Prozent angegeben, heißt dieser Prozentsatz Wachstumsrate p%.
Beispiel: Das Kapital wächst pro Jahr um' 5%'. Die Wachstumsrate beträgt dann p% = 5%.
Das Kapital wächst also auf das 1,05-Fache.
Dies ist der Wachstumsfaktor q = 1,05. Er ergibt sich aus dem Grundwert von 100% und der Wachstumsrate p%:
q = 100% + p%
Das neue Kapital/den neuen Wert W1 berechnest du also mit der Gleichung:
K1 = K0 · q oder
W1 = W0 · q
Beispiele
1) Die Schülerzahl einer Schule von 550 ist innerhalb eines Jahres um 8% gestiegen.
Geg: W0 = 550; Wachstumsrate p% = 8%
Ges: W1 ; q
Der alte Wert ist von 100% auf 108% gestiegen, also auf das 1,08-Fache.
Wachstumsfaktor q q = 1 + p%
Die neue Größe ergibt sich aus dem Produkt der alten Größe mit dem Wachstumsfaktor q:
W1 = W0 ∙ q
W1= 550 ∙ 1,08
= 594 (Schüler)
Die Anzahl der Schüler beträgt nun 594.
2) Die Anzahl der Schülerinnen und Schüler einer Schule stieg von 2007 bis 2008 von 440 auf 462. Bestimme die Wachstumsrate.
Geg: W0 = 440; W1 = 462
Ges: p% Wachstumsrate
Berechne die Wachstumsrate aus dem alten und neuen Wert:
Wachstumsrate: p% = = = 0,05 = 5%
Wachstumsfaktor: q = = = 1,05 (Formel W1 = W0 ∙ q nach q umgestellt)
oder q = 1 + 5% = 1 + 0,05 = 1,05 ( Probe: 440 ∙ 1,05 = 462)
IDEE LearningApp mit Anwendungsaufgaben zur Bestimmung von p% und q (noch erstellen!)
3 Exponentielles Wachstum
Einstieg Weltbevölkerung
4 Die Exponentialfunktion
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