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Quadratische Funktionen untersuchen

Quadratische Funktionen erkennt man daran, dass die Funktionsgleichungen eine bestimmte Form haben, in der die Variable im Quadrat vorkommt. Graphen quadratischer Funktionen nennt man Parabeln. Sie sind immer gebogen und spiegelsymmetrisch. Ihren tiefsten/ höchsten Punkt nennt man Scheitelpunkt.

Man kann quadratische Funktionen in der Scheitelpunktform f(x) = a (x - d)² + e und der Normalform f(x) = ax² + bx + c darstellen.

Die Scheitelpunktform und was man an ihr ablesen kann.

An der Scheitelpunktform f(x) = a (x - d)² + e kann man den Scheitelpunkt S (d| e) ablesen.

Merke

Der Faktor a heißt Streckungsfaktor des Graphens. Es gilt:

Ist a < 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a< 0, so ist die Parabel nach unten geöffnet.

Ist |a| < 1, so ist die Parabel gestaucht (weiter als die Normalparabel).

Ist |a| > 1, so ist die Parabel gestreckt ( enger als die Normalparabel

Die Normalform und was man an ihr ablesen kann.

An der Normalform f(x) = ax² + bx + c kann man den Schnittpunkt mit der y-Achse Sy (0|c) ablesen.

Scheitelpunktform in Normalform umwandeln mithilfe der binomischen Formeln

Die Klammer (x - d) ² kann man mithilfe der 1. oder 2. binomischen Formel auflösen, fasst man dann zusammen, erhält man die Normalform.

Beispiel:

4(x + 5) ² + 6

= 4(x² + 10x + 25) + 6 (Anwenden der 1. Binomischen Formel)

= 4x² + 40x + 100 + 6 (Distributivgesetz)

= 4x² + 40 x + 106 ("Aufräumen")