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Wiederholung

Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks

In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als Umkreismittelpunkt bezeichnet.

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als Inkreismittelpunkt des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. (Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den Schwerpunkt kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

(GeoGebra Applet)

Aufgabe 1

Aufgabe 1:

In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist?

Welcher Punkt hat in einem Dreieck den kleinsten Abstand von allen Seiten?

Welcher Punkt des Dreieck wird in dieser Aufgabe gesucht? (!Umkreismittelunkt) (Inkreismittelpunkt) (!Schwerpunkt)

Aufgabe 2

Aufgabe 2a:

Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - Umkreismittelpunkt

Winkelhalbierende - Inkreismittelpunkt

Seitenhalbierende - Schwerpunkt

Aufgabe 2b:

Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

Schwerpunkt und Seitenhalbierende: Beides beginnt mit "S".

Inkreis und Winkelhalbierende: In beidem kommt "ink" vor.

Umkreis und Mittelsenkrechte: In beidem kommt "m" vor.

Wiederholung

Eigenschaften des Umkreismittelpunkt

Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue hier.

Aufgabe 3

Aufgabe 3:

Benenne die Punkte M₁ M₂ und M₃ der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.

Deine Lösung:

M₁ - Umkreismittelpunkt, M₂ - Schwerpunkt, M₃ - Inkreismittelpunkt

Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue hier .