Geometrie im Dreieck/Auf den Spuren der Winkel

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In diesem Lernpfadkapitel beschäftigen wir uns mit den verschiedenen Winkelarten: dem Neben-, Scheitel-, Stufen- und Wechselwinkel.

Du hast noch Unsicherheiten, wann welcher Winkel vorliegt? Hast Schwierigkeiten sie zu erkennen? Oder die nützlichen Eigenschaften, die mit den verschiedenen Winkeln einhergehen, sind dir noch nicht vollends bewusst? Dann bist du hier genau richtig. Wir lernen das gemeinsam.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben in lilaner Farbe sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Einstieg

Fred möchte die Winkel in einer Konstruktion, die er im Sportunterricht gesehen hat bestimmen.

Um die Winkelgrößen zu bestimmen fertigt er eine Zeichnung an.

Freds Zeichnung.

Denkst du Freds Zeichnung ist passend für das Problem? Notiere deine Antwort in deinem Heft und begründe sie.

Aufgabe 1: Zuordnungen von Begriffen zu Abbildungen

Teste dein Wissen zu den verschiedenen Winkelarten. Ordne die Bilder der Winkel den richtigen Bezeichnungen zu.

Dir ist die Zuordnung nicht so leicht gefallen? Dann schaue dir die folgenden Merksätze zu den Winkeltypen an.

Merksatz: Scheitelwinkel

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man gegenüberliegende Winkel Scheitelwinkel. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Scheitelwinkel und es gilt α $=$ β.

Merksatz: Nebenwinkel

An zwei Geraden, die sich schneiden, nennt man nebeneinanderliegende Winkel Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°.

In der Abbildung: α und β sind Nebenwinkel und es gilt α+β $=$ 180°.

Merksatz: Stufenwinkel

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiteren Geraden geschnitten werden, nennt man Winkel, die in Stufen angeordnet sind, Stufenwinkel. Die Winkel sind gleich groß.

In der Abbildung: α und β sind Stufenwinkel und es gilt α$=$ β.

Merksatz: Wechselwinkel

An zwei parallelen Geraden, die von einer weiterer Geraden geschnitten werden, erhält man Wechselwinkel, indem man erst den Stufenwinkel und anschließend davon den Scheitelwinkel nimmt. Auch für Wechselwinkel gilt, dass sie gleich groß sind.

In der Abbildung: α und β sind Wechselwinkel und es gilt α$=$ β.

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Schwierigkeitsstufe I

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

β=120°

mögliche Begründung:

1. β ist Stufenwinkel zum Winkel 120°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt β=120°.

2. Falls δ=120° schon bestimmt wurde: β=120°, da β und δ Wechselwinkel sind und diese gleich groß sind.

γ=60°

mögliche Begründungen:

1. γ ist Nebenwinkel zum Winkel 120°. Da γ+120°=180° gelten muss, ist γ=60°.

2. γ ist Nebenwinkel zu δ=120°. Wegen γ+120°=180° gilt dann γ=60°.

δ=120°

mögliche Begründungen:

1. δ ist Scheitelwinkel zu 120° und Scheitelwinkel sind immer gleich groß. Also ist δ=120°.

2. Falls γ=60° schon bestimmt wurde: δ ist Nebenwinkel zu γ=60°. Weil γ+δ=180° sein muss, ist δ=120°.

3. Falls β=120° schon bestimmt wurde: Da β und δ Wechselwinkel sind, sind sie gleich groß und es gilt δ=120°.

Schwierigkeitsstufe II

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

α=70°

mögliche Begründung:

α ist Stufenwinkel zum Winkel 70°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, gilt α=70°.

β=110°

mögliche Begründungen:

1. α und β sind Nebenwinkel, also muss α+β=180° gelten. Da α=70° ist, muss β=110° sein.

2. Falls γ schon bestimmt wurde: β ist Scheitelwinkel zu γ=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt β=110°.

γ=110°

mögliche Begründungen:

1. α und γ sind Nebenwinkel, also muss α+γ=180° gelten. Da α=70° ist, muss γ=110° sein.

2. Falls β schon bestimmt wurde: γ ist Scheitelwinkel zu β=110°. Da Scheitelwinkel gleich groß sind, gilt γ=110°.

δ=80°

mögliche Begründung:

δ ist Stufenwinkel zu 80°. Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist auch δ=80°.

ε=100°

mögliche Begründung:

ε ist Nebenwinkel zu δ=80°. Da δ+ε=180° gelten muss, ist ε=100°.

Schwierigkeitsstufe III

Aufgabe 2: Winkelgrößen bestimmen

Bestimme die Winkelgrößen und begründe mit Hilfe der Winkeltypen, wie du auf die Lösung gekommen bist.

Winkel α ist doppelt so groß wie Winkel β.

α=120° und β=60°

mögliche Begründung:

α und β sind Nebenwinkel, weshalb α+β=180° gelten muss. Da α doppelt so groß ist wie β, folgt daraus, dass α=120° und β=60° ist.

γ=120°

mögliche Begründung:

Da γ Stufenwinkel zu α=120° ist und Stufenwinkel gleich groß sind, gilt γ=120°.

δ=66°

mögliche Begründung:

Man kann einen Stufenwinkel zum Winkel 114° einzeichen, der Nebenwinkel zum Winkel δ ist (Winkel ε in der Abbildung rechts). Da Stufenwinkel gleich groß sind, ist ε=114°. Mit δ+ε=180° folgt dann δ=66°.

Aufgabe 3: Wer bin ich?

Winkeltyp 1

Mein Nachbarwinkel und ich bilden gemeinsam eine gestreckte Linie. Wir ergänzen uns immer zu einem Halbkreis. Wer bin ich?

Je größer mein Nachbarwinkel ist, desto kleiner bin ich.

Mein Nachbarwinkel und ich ergeben gemeinsam 180 Grad. Wenn er beispielsweise 70 Grad aufweist, besitze ich 110 Grad.

Ich bin der Nebenwinkel.

Winkeltyp 2

Mein Partner und ich sind stets auf der gleichen Seite, obwohl wir auf unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?

Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.

Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.

Ich bin der Stufenwinkel.

Winkeltyp 3

Mein Partner und ich sind nie auf der gleichen Seite. Vielleicht liegt es daran, dass wir stets auf einer unterschiedlichen Geraden (parallel zueinander) schwimmen. Wer bin ich?

Ich entstehe, wenn eine dritte Gerade zwei parallele Geraden schneidet.

Mein Partner und ich haben die gleiche Winkelgröße.

Ich bin der Wechselwinkel.

Winkeltyp 4

Mein Partner und ich sind uns sehr ähnlich . Wir berühren uns im Schnittpunkt der Geraden. Wer bin ich?

Mein Partner und ich haben immer die selbe Winkelgröße.

Wir liegen zwar nicht nebeneinander, dafür aber direkt gegenüber.

Ich bin der Scheitelwinkel.

Aufgabe 4: Winkel in der Sporthalle

Zeichnen

Aufgabe 4.1.

Zeichne die Sprossenwand, die Bänke, den großen Kasten und die Linie (auf dem Boden) als Geraden in dein Heft. Du kannst dabei annehmen, dass es sich bei dem äußeren Körper um ein Rechteck handelt.

Bitte füge die Benennung der Winkel in deiner Zeichnung hinzu.

Winkel berechnen und benennen

Aufgabe 4.2.

Berechne die Größe der fehlenden Winkel. Finde eine besondere Winkelart in der Darstellung und benenne sie.

τ und δ sind zusammen genauso groß, wie α.

Es existiert ein Stufenwinkel.

α=90°, β=90°, β'=60°, ε=30°, γ=90°, δ=60°, δ'=90°, τ=30°.

β und γ sind Stufenwinkel.