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Zufall und Wahrscheinlichkeit - Vorwissen

Zufallsversuche

Wahrscheinlichkeiten

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Wahrscheinlichkeiten

Laplace-Experiment

Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Alle Ausgänge des Experiments sind also gleichwahrscheinlich.

Was sind Wahrscheinlichkeiten

Unter Wahrscheinlichkeit versteht man die Chance, dass bei einem Zufallsexperiment ein bestimmtes Ereignis auftritt. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses hat immer Werte zwischen 0 und 1 (0% und 100%).
Schreibweise:
P(E) = 0,5 (sprich: Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis E ist 0,5 oder 50%)

Die Wahrscheinlichkeit wird mit dem großen Buchstaben P notiert, da das englische Wort für Wahrscheinlichkeit "probability" lautet.

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (Laplace-Experiment)

Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (Laplace-Experiment)

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses zu bestimmen, wenn alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Experiment), teilt man 1 durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse.

P(Ergebnis) = $\tfrac{1}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E zu bestimmen, wenn alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Experiment), teilt man die Anzahl der günstigen Ergebnisse (m) durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse (n).

P(E) = $\tfrac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} = \tfrac{m}{n}$

Sicheres und unmögliches Ereignis

Wenn ein Ereignis alle möglichen Ergebnisse enthält, dann nennt man es ein sicheres Ereignis. Es gilt: P(E) = 1 (=100%)
Beispiel: E: Bei einem Wurf mit einem Würfel (6er) ein Zahl kleiner als 7 würfeln. P(E) = 1

Wenn ein Ereignis keines der möglichen Ergebnisse enthält, dann nennt man es ein unmögliches Ereignis. Es gilt: P(E) = 0.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übung 1: Wahrscheinlichkeiten berechnen (online)

Löse die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs:

• 7 bis 14
• 18 bis 29
• 30 bis 35

Übung 2: Wahrscheinlichkeiten berechnen (Buch)

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung.

• S. 155, Nr. 1
• S. 115, Nr. 2
• S. 115, Nr. 3
• S. 115, Nr. 4
• S. 115, Nr. 5
• S. 115, Nr. 6
• S. 115, Nr. 7
• S. 115, Nr. 8

Übung 3: Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnen

Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine übersichtliche Darstellung.

• S. 156, Nr. 1
• S. 156, Nr. 2
• S. 157, Nr. 3
• S. 157, Nr. 5
• S. 157, Nr. 6
• S. 157, Nr. 7
• S. 157, Nr. 8
• S. 157, Nr. 9

Schreibweise zu Nr. 1
geg: 4 rote und 8 blaue Kugeln, also 4+8 = 12 Kugeln insgesamt
E: "Eine blaue Kugel ziehen"

P(E) = $\tfrac{4}{12}$ = $\tfrac{1}{3}$ ≈ 0,333 = 33,3%

a) Um die blaue Figur schlagen zu können, musst du eine "2" würfeln. Dies ist eine günstige Möglichkeit von 6 möglichen Ergebnissen.
P(2) = $\tfrac{1}{6}$ = ...
b) Um ins eigene Haus zu gelangen, musst du eine "3" oder "4" würfeln.
c) Du kannst die eigene Figur nicht setzen, wenn du eine "5" oder eine "6" würfelst.

d) Um die Bedingungen zu erfüllen, musst du eine "1" würfeln.

geg: P(rot) = 30%; P(gelb) = 20%; P(schwarz) = 10%; Rest: 100% - 30%- 20% - 10% = 50%
ges: Glücksrad mit entsprechender Einteilung
Idee: Teile das Glücksrad in 10 gleich große Felder ein, färbe davon dann 3 rot, 2 gelb, 1 schwarz, den Rest lässt du weiß.

Wie groß ist der Winkel für 1 Feld? Tipp: Der gesamte Kreis hat 360°.

a) Die Gewinnwahrscheinlichkeit soll 20% betragen. Schreibe diese Wahrscheinlichkeit als vollständig gekürzten Bruch, dann kannst du am Nenner die Anzahl der (minimal) möglichen Ausgänge ablesen.
b) geg: Anzahl der möglichen Ausgänge: 75; P(E) = 20% $\tfrac{20}{100}$
ges: Anzahl der günstigen Ausgänge

Löse die Gleichung: $\tfrac{20}{100}$ = $\tfrac{x}{75}$