Gymnasium Philippinum Marburg/Trigonometrische Funktionen

Die Winkelfunktionen am Einheitskreis

Sinus und Kosinus waren zunächst nur für Winkel zwischen 0° und 90° definiert. Die Erweiterung dieser Definitionen ergibt sich, wenn $\alpha$ als Drehwinkel am Einheitskreis betrachtet wird.

https://www.geogebra.org/m/swacpvkg

Der Einheitskreis hat den Radius 1, auf der Kreislinie befindet sich ein Punkt P. Stelle dir einen Zeiger $\vec{OP}$ vor, der sich gegen den Uhrzeigersinn dreht. Zu jeder Stellung des Zeigers gehören ein Winkel $\alpha$ und ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenusenlänge 1 (Hypothenuse = Radius). Da die Hypothenuse die Länge 1 hat, gilt:

$\sin (\alpha) =\frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \frac{Gegenkathete}{1} = Gegenkathete$

$\cos (\alpha) =\frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{Ankathete}{1} = Ankathete$

Der Punkt P hat also die Koordinaten P($\cos (\alpha ) /\sin (\alpha )$). Diese Bezeichnung gilt auch für Winkel größer als 90°. Je nachdem, in welchem Quadranten des Koordinatensystems P liegt, sind die Werte für $\cos (\alpha)$ bzw. $\sin (\alpha)$ unter Umständen auch negativ.

Das Bogenmaß

Eine andere Möglichkeit, den Winkel und damit P anzugeben, ist das sogenannte Bogenmaß. Als Bogenmaß wird die Länge x des Bogens bezeichnet, den der Zeiger bis zum Punkt P entlang läuft. Die Einheit des Bogenmaßes lautet rad (= Radiant), wird in der Regel aber weggelassen.

https://www.geogebra.org/m/dPdpP7qd

Für einen ganzen Kreis beträgt das Gradmaß $\alpha$ = 360° und das Bogenmaß b = 2$\pi$ (der Umfang des Einheitskreises beträgt $2\pi$). Die genaue Formel zur Umrechnung eines Winkels $\alpha$ im Gradmaß in das Bogenmaß b ist $b = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}$.

Diese Formel ergibt sich z. B. aus folgender Überlegung: Die Länge des Bogens b ist nur ein Teil des Umfangs des (Einheits-)Kreises, der $2\pi$ beträgt. Der Anteil des Bogens an dem Umfang ist genauso groß wie der Anteil des Winkels $\alpha$ am Vollwinkel von 360°. Dieser Anteil beträgt $\frac{\alpha}{360^\circ}$. Um die Länge des Bogens b auszurechnen, muss man also diesen Anteil vom Umfang des Einheitskreises ausrechnen, also $b=2\pi\cdot \frac{\alpha}{360^\circ}=\alpha\cdot\frac{2\pi}{360^\circ}=\alpha\cdot\frac{\pi}{180^\circ}$ .

Siehe dir hierzu auch das folgende Video an:

https://www.youtube.com/watch?v=n2wnGjJ_Ru4

Man kann die Formel auch aus einer Verhältnisrechnung erhalten: Der Vollwinkel von 360° entspricht $2\pi$ im Bogenmaß. Da beide Angaben der Form b im Bogenmaß und $\alpha$ im Gradmaß den gleichen Winkel beschreiben, muss das Verhältnis von b zu $2\pi$ genausogroß sein wie das Verhältnis von $\alpha$ zu 360°. Es gilt also: $\frac{b}{2\pi} = \frac{\alpha}{360 ^\circ}$. Durch Umformen ergibt sich dann $b =\frac{\alpha\cdot 2\pi}{360^\circ} = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}$.

Hier gibt es Übungen zu der Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß:

https://de.serlo.org/mathe/54051/aufgaben-zum-bogenma%C3%9F

Die Sinusfunktion und Kosinusfunktion

Man kann nun die Sinusfunktion betrachten, die jedem Winkel (gemessen im Gradmaß oder - üblicherweise - im Bogenmaß) den sinuswert des Winkels zuordnet. Ebenso wird die Kosinusfunktion definiert, die jedem Winkel den Kosinuns des Wikels zuordnet. Im Applet kannst du die Definition der Sinusfunktion am Einheitskreis nachvollziehen, im zweiten Applet die Definition der Kosinusfunktion. Du kannst dabei jeweils den Punkt K auf dem Einheitskreis bewegen.

Mithilfe des Einheitskreises kann man die Defintion von Sinus und Kosinus auf Winkel größer als 90° erweitern. Zu jedem Winkel $\alpha$ im Gradmaß gehört das Bogenmaß des Winkels. Dieses ist die Länge x des zugehörigen Bogens im Einheitskreis. Dabei gilt: $x = \alpha \cdot \frac{\pi}{180 ^\circ}$. Die Funktion $f(x) = \sin (x)$ heißt Sinusfunktion, die Funktion $f(x) = \cos (x)$ Kosinusfunktion.

Dabei ist man nicht darauf beschränkt, Winkel zwischen 0° und 360° zu betrachten. Man kann den Kreis auch mehrfach umlaufen, oder auch den Punkt den Kreis in der anderen Richtung durchlaufen lassen und somit Sinuswerte von negativen Winkel betrachten. Probiere dies im Applet aus, indem du mit dem Schieberegler den Winkel α veränderst.

Aufgabe

Untersuche mit Hilfe des Applets die Sinusfunktion hinsichtlich ihrer folgenden Eigenschaften und notiere die Ergebnisse im Heft:

• Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Kreissegmenten (D. h. welche Intervalle auf der x-Achse repräsentieren welchen Bereich des Einheitskreises bzw. welchen Quadranten des zugehörigen Koordinatensystems?)
• Definitions- und Wertemenge (Die Definitionsmenge bessteht aus allen Zahlen, die man für x einsetzen kann. Die Wertemenge besteht aus allen Zahlen, die als Funktionswerte herauskommen können.)
• Achsenschnittpunkte
• Periodizität (Wie viele Einheiten umfasst eine Periode, d. h. ab welchem Wert wiederholt sich der Verlauf des Graphen?)
• Symmetrie

Zu einem Funktionswert der Sinusfunktion können mehrere Winkel gehören, die den gleichen Sinuswert haben. Verändere hierzu im Applet den Wert von a und suche alle Winkel x, für die $\sin(x)=a$ gilt.

Hausaufgabe: Bearbeite die Aufgaben 9 und 10 auf Seite 137 im Buch.

Transformationen der Funktionen

Aus dem Alltag sind dir vielleicht verschiedene Arten von grafischen Darstellungen bekannt, die ähnlich aussehen wie die Sinuskurve, z. B. bei der Darstellung von Schwingungen, wie sie bei der Aufzeichnung von Wechselspannungen am Oszilloskop im Physiksaal oder bei der Darstellung von Ebbe und Flut auftauchen. Die Gesetzmäßigkeiten, die diesen Schwingungen zugrunde liegen, lassen sich tatsächlich oftmals mithilfe von Gleichungen beschreiben, in denen Sinusfunktionen vorkommen. Die sogenannte "Grundfunktion" $f(x) =\sin (x)$ allein reicht dazu allerdings nicht aus; sie muss zur Modellierung dieser Funktionen auf verschiedene Arten transformiert werden. Mit diesen Transformationen sollst du dich nun näher beschäftigen:
Verschiedene Transformationsarten (d. h. das Strecken bzw. Stauchen, das Verschieben sowie das Spiegeln von Graphen) sind dir bereits von den quadratischen Funktionen, Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen bekannt.

Die allgemeine Sinusfunktion hat die $f(x)=a \sin(b(x-c))+d$.

Aufgabe

Untersuche mit Hilfe des Applets , welche Auswirkungen die Änderungen der Parameter a,b,c und d haben. Notiere die Ergebnisse in deinem Heft. Fertige auch geeignete Skizzen an.

Ebenso kann man natürlich auch die allgemeine Kosinusfunktion $f(x)=a \cos(b(x-c))+d$ betrachten.

Zusatzaufgabe zur Ergänzung:

Aufgabe

Untersuche mit Hilfe des Applets , welche Auswirkungen die Änderungen der Parameter a,b,c und d haben. Notiere die Ergebnisse in deinem Heft. Fertige auch geeignete Skizzen an.

Nun soll noch ein Zusammenhang zwischen der Sinus- und Kosinusfunktion untersucht werden.

Aufgabe

Untersuche mit Hilfe des Applets , wie die Kosinusfunktion aus der Sinusfunktion hervorgeht. Erkläre.

Funktionsgleichungen bestimmen

Nun sollen die Parameter zu gegebenen Graphen bestimmt werden.

Aufgabe

Bearbeite dazu die Aufgaben auf den folgenden Seiten:

• Übungen 1
• Übungen 2

Weitere Übungsaufgaben:

Aufgabe

Bearbeite die Aufgaben auf den folgenden Seiten. Mit dem Schieberegler kannst du die Lösung schrittweise einblenden.

• Aufgabe 1
• Aufgabe 2
• Aufgabe 3
• Aufgabe 4
• Aufgabe 5
• Aufgabe 6
• Beschreibe im Heft die Vorgehensweise, wie man bei gegebenem Graphen den Funktionsterm bestimmen kann.

Anwendungen

Auf der Seite Anwendungen werden noch ein paar Anwendungen betrachtet.

Hinweis: auf der Seite wird als allgemeine Sinusfunktion $f(x)=a \sin(b(x+c))+d$ verwendet. Der Parameter c hat also ein anderes Vorzeichen. Die gewonnene Funktionsvorschrift ist aber auf jeden Fall die gleiche, auch wenn man mit der allgemeinen Sinusfunktion $f(x)=a \sin(b(x-c))+d$ arbeitet wie wir.