Benutzer:Gabriel.cicek/Zufällige Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeit/6.Pfadregeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Wie berechne ich Wahrscheinlichkeiten (mithilfe eines Baumdiagramms)?

Um zu einem möglichen Ergebnis zu gelangen, musst du einen bestimmten Pfad des Baumdiagrammes gehen. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses berechnest du, indem du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multiplizierst.

Produktregel

Bei einem zweistufigen Zufallsversuch wird die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (geordnetes Paar) berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades multipliziert werden.

Beispiel:
Es wird eine Münze zweimal geworfen. Mögliche Ergebnisse pro Wurf sind Kopf (K) und Zahl (Z). Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis Kopf,Kopf lässt sich mit der Produktregel wie folgt berechnen:

P(K,K) = $\tfrac{1}{2}$ ∙ $\tfrac{1}{2}$ = $\tfrac{1}{4}$ = 0,25 = 25%

Baumdiagramm:

Falls du noch zusätzliche Hilfe zur Produktregel brauchst benötigst, findest du hier ein Erklärvideo.

Schaue es nur, wenn du es nicht verstanden hast!!!

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Nun betrachten wir nicht mehr nur einzelne Ergebnisse sondern berechnen die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.
Ein Ereignis setzt sich aus mehreren günstigen Ergebnissen zusammen.
Beispiel:
Das Ereignis E: Die Münze zeigt mindestens einmal Zahl" setzt sich aus den Ergebnissen (K,Z),(Z,Z)und (Z,K) zusammen.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse addiert.

Summenregel

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten von allen günstigen Ergebnissen, die zu diesem Ereignis gehören, addiert werden.

Beispiel:
E: "Die Münze zeigt mindestens einmal Zahl"

P(E) = P(K,Z) + P(Z,Z) + P(Z,K)

= $\tfrac{1}{4}$ + $\tfrac{1}{4}$ + $\tfrac{1}{4}$

= $\tfrac{3}{4}$ = 75%

Baumdiagramm:

Falls du noch zusätzliche Hilfe zur Summenregel brauchst benötigst, findest du hier ein Erklärvideo.

Schaue es nur, wenn du es nicht verstanden hast!!!

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Übung 1

Aus einem Behälter mit 3 blauen und 2 roten Kugeln werden nacheinander zwei Kugeln gezogen. Nach jedem Zug werden die Kugeln wieder zurückgelegt.

Aufgaben:

a) Zeichne zu dem Zufallsversuch ein Baumdiagramm und beschrifte ihn vollständig!

a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, zwei blaue Kugeln zu ziehen?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine blaue Kugel zu ziehen?

b) $\tfrac{9}{25}$

c) $\tfrac{21}{25}$

Übung 2

Aus einem Behälter mit 8 blauen, 5 roten, 1 schwarze und 5 gelben Kugeln werden gleichzeitig zwei Kugeln gezogen. Nach jedem Zug werden die Kugeln wieder zurückgelegt.

Aufgaben:

a) Zeichne zu dem Zufallsversuch ein Baumdiagramm und beschrifte ihn vollständig!

b) Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten:

(1) Es wird eine blaue und eine rote Kugel gezogen.

(2) Es wird eine schwarze und eine gelbe Kugel gezogen.

(3) Es wird eine rote und eine gelbe Kugel gezogen.

(4) Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.

(5) Es wird eine rote oder eine gelbe Kugel gezogen. Rechne hier mit dem Gegenereignis!

(5) P(E) = 1 - P(Ē)

Ē: Es wird keine rote und keine gelbe Kugel gezogen.

b) (1) $\tfrac{80}{361}$ ≈ 22% (2) $\tfrac{10}{361}$ ≈ 3% (3) $\tfrac{50}{361}$ ≈ 14% (4) $\tfrac{240}{361}$ ≈ 66% (5) P(E) = 1 - P(Ē)

P(E) = 1 - $\tfrac{80}{361}$ ≈ 78

Übung 3

S.189, Nr.5

a) Nach jedem Wurf wird notiert, ob eine sechs gefallen ist oder nicht. Die Wahrscheinlichkeit eine sechs zu würfeln beträgt jeweils $\tfrac{1}{6}$, keine sechs zu Würfeln $\tfrac{5}{6}$

b) (1) $\tfrac{25}{36}$ ≈ 69% (2) $\tfrac{5}{18}$ ≈ 28% (3) $\tfrac{1}{36}$ ≈ 3% (4) $\tfrac{11}{36}$ ≈ 31%

(5) $\tfrac{35}{36}$ ≈ 97%

Mehrstufige Zufallsversuche "ohne zurücklegen"

Achtung: Bei mehrstufigen Zufallsversuchen ohne zurücklegen, verändert sich die Wahrscheinlichkeit der zweite Stufe. Am Beispiel der Urne kannst du dir das so vorstellen:

In einer Urne sind insgesamt 10 Kugeln. Wird eine Kugel gezogen ohne sie zurückzulegen, hast du im zweiten Zug nur noch insgesamt 9 Kugeln.

Übung 4

S.190, Nr.8 b)

Nr.9

Bei Nr.9 musst du wissen, wie das Kartenspiel aufgebaut ist.

Hier hast du alle Karten auf einem Blick! Mach davon einen Screenshot und füge diesen in Goodnotes ein!

Noch ein Tipp zu Nr.9:

Zeichne nicht das komplette Baumdiagramm. Überlege dir, welche Pfade für das Ereignis relevant sind! Es reicht, wenn du nur die zeichnest!

E1: $\tfrac{1}{6}$ ≈ 16,7% E2: $\tfrac{2}{9}$ ≈ 22,2% E3: $\tfrac{7}{18}$ ≈ 38,9%

E4: $\tfrac{13}{18}$ ≈ 72,2%

a) $\tfrac{7}{124}$ b) $\tfrac{15}{62}$ c) $\tfrac{3}{248}$ d) $\tfrac{33}{248}$ e) $\tfrac{1}{62}$

f) $\tfrac{1}{992}$