Benutzer:Buss-Haskert/Terme/Variablen und Terme

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Vorwissen zum Thema Terme
1) Variablen und Terme
2) Terme vereinfachen

3) Terme mit Klammern

Neue Idee (12/2022): Buch des FLINK-Teams auf GeoGebra: https://www.geogebra.org/m/y87ytrk9

1) Variablen und Terme

Wir gehen in den Zoo: Aufgabe 1

Berechne die Eintrittspreise für die Familien. Schreibe den gesamten Rechenweg als Rechenterm auf.

• Familie Peters (2 Erwachsene und 2 Kinder)
• Familie Meier (2 Erwachsene und 3 Kinder)
• Familie Schmidt (3 Erwachsene und 6 Kinder)

Schreibe nur eine einzige Rechnung auf.
Beispiel: 4 Erwachsene und 2 Kinder

4 ∙ 12 + 2 ∙ 9,50
= 48 + 19
= 67 [€]

Wir gehen in den Zoo: Aufgabe 2

Auch Klassen besuchen den Zoo.
a) Berechne die Eintrittspreise für die folgenden Klassen.

• Klasse 7a (24 Schüler/innen; 2 Lehrerinnen)
• Klasse 9b (31 Schüler/innen; 2 Lehrer)
• Klasse 6d (27 Schüler/innen; 2 Lehrerinnen)

b) Welche Größen bleiben in den Rechenwegen immer gleich? Markiere sie in grün.
c) Welche Größen verändern sich in den Rechentermen? Markiere sie in rot.

d) Kannst du einen Rechenweg in Worten angeben, der für alle Klassen gültig ist?

Bei den Schulklassen bezahlt immer nur eine erwachsene Person, denn die andere Begleitperson hat ja freien Eintritt.
Also gilt:

Klasse 7a: 24 Schüler/Schülerinnen und 1 Begleitperson (die andere Begleitperson ist frei) 25 ∙ 7,50 = 187,50 [€] usw.

Es bleibt immer der Betrag 7,50 gleich.

Es verändert sich immer die Anzahl der Personen, die den Eintrittspreis bezahlen müssen.

Multipliziere die Anzahl der Schüler/Schülerinnen und die Anzahl der Begleitpersonen weniger eine Person mit 7,50.

1.1 Was sind Variablen? Was sind Terme?

Merke: Was sind Variablen? Was sind Terme?

Variablen sind Zeichen (in der Regel kleine Buchstaben), die den Platz frei halten für Zahlen oder Größen.

Terme sind Rechenausdrücke, die Variablen, Zahlen und Rechenzeichen sinnvoll verbinden.

Entscheide, ob es sich um eine Variable, einen Term oder keins von beidem handelt:

Anmerkung: Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen sind überflüssig und werden daher oft weggelassen.
3∙x = 3x
1∙a = 1a = a
-1a = -a
aber: 3∙5 $\neq$35! (Hier muss der Malpunkt geschrieben werden!)

Übung - Überflüssige Malpunkte

Um Produktterme so einfach wie möglich zu schreiben, dürfen überflüssige Malpunkte weggelassen werden. Dies sind Malpunkte zwischen einer Zahl und einer Variablen. Markiere die überflüssigen Malpunkte in den Termen bzw. schreibe kürzer.

Du hast im Einstiegsbeispiel Eintrittspreise für den Zoobesuch berechnet. Stelle nun einen Term für die Berechnung des Eintrittspreises für Familien auf. Die Variable x soll dabei den Platz für die Anzahl der Erwachsenen freihalten, die Variable y den für die Anzahl der Kinder.

Im Einstiegsbeispiel beträgt der Eintrittspreis für die Erwachsenen immer 12,00 €. x Erwachsene müssen also x∙12,00 € bezahlen.
Der Preis für die Kinder beträgt immer 9,50 €, also bezahlen y Kinder y∙9,50 € Eintritt.
Insgesamt beträgt der Eintrittspreis für x Erwachsene und y Kinder also
x∙12,00 + y∙9,50 [€]

Eine andere mögliche Schreibweise ist 12,00∙x + 9,50∙y [€], da man meist zuerst die Zahl und dann die Variable nennt.

Übung 1: Werte von Termen berechnen - Eintrittspreise Zoo

Im Einstiegsbeispiel hast du Eintrittspreise für den Zoobesuch berechnet. Nutze den Term, den du gerade aufgestellt hast, für die Berechnung des Eintrittspreises für Familien und berechne den Wert für

• 3 Erwachsene und 5 Kinder
• 2 Erwachsene und 3 Kinder
• 5 Erwachsene und 6 Kinder

Zusatz: Erstelle eine Tabellenkalkulation für die Berechnung der Preise.

Eine Tabellenkalkulation könnte z.B. wie folgt aussehen:
(Hier kannst du auch den Preis pro Person anpassen)

1.2 Werte von Termen berechnen

Die Term Maschine

Beschreibe, wie die Term Maschine funktioniert

Falls die Auflösung nicht passt, öffne das Applet über diese Link.
von Beraterinnen und Beratern für Unterrichtsentwicklung Mathematik

Merke: Werte von Termen berechnen

Wenn du für die Variablen Zahlen einsetzt, lässt sich der Wert des Terms berechnen.

Beispiele:

5∙x für x = 7

5∙7 = 35

4 ∙y - 10 für y = 2

4 ∙2 - 10    |Punkt-vor Strich
= 8 - 10

= -2

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Applet erstellt von Beraterinnen und Berater für Unterrichtsentwicklung in Mathematik

Im nachfolgenden Applet kannst du die Werte für a und b mithilfe der Schieberegler verändern. Beschreibe, wie jeweils die Werte der beiden Terme berechnet werden.

Haben die Terme 3a + 4b und 7ab immer denselben Wert? Begründe.

Übung 2

Berechne den Wert des Terms 5∙x für
a) x = 8
b) x = -3
c) x = $\tfrac{3}{10}$

d) x = -1,5

Erinnerung: Du multiplizierst einen Bruch mit einer Zahl, indem du den Zähler mit der Zahl multiplizierst und den Nenner beibehältst:

5∙$\tfrac{3}{10}$ = $\tfrac{5}{1}\cdot\tfrac{3}{10} = \tfrac{5\cdot3}{10}$ = ... Denke ans Kürzen!

Übung 3 - Werte von Termen berechnen

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 2
• 9
• 10
• 11

Übung 4

Schreibe die Aufgaben ab und löse die Aufgaben. Achte auf eine übersichtliche Schreibweise! Denke daran, bei dir im Heft muss der gesamte Rechenweg notiert sein.

• S. 98 Nr. 11
• S. 98 Nr. 12
• S. 98 Nr. 13 Du musst (mindestens) bei e) bis f) die Rechenwege notieren! (danach Ergebnis in Tabelle eintragen)
• S. 98 Nr. 14

Beachte besonders die Regeln "Punkt vor Strich" und "Klammer hat Vorfahrt"!

Hier findest du die Lösungen. Schaue nach, ob deine Ergebnisse richtig sind und rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal neu (gesamter Rechenweg & Ergebnis).
a) 51
b) 84
c) 17
d) 5
e) $\tfrac{4}{3}$
f) 0
g) 24
h) 20

Hier findest du die Lösungen. Schaue nach, ob deine Ergebnisse richtig sind und rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal neu (gesamter Rechenweg & Ergebnis).
a) 13
b) 13
c) 22
d) 0
e) 0

Schreibe dir auch die Rechenwege auf. So kannst du schneller eventuelle Fehler finden und berichtigen!

Hier findest du die Lösungen. Schaue nach, ob deine Ergebnisse richtig sind und rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal neu - dann auf jeden Fall mit Angabe des Rechenwegs!

Achte darauf, dass du die Zahlen jeweils für die richtige Variable einsetzt!

Hier findest du die Lösungen. Schaue nach, ob deine Ergebnisse richtig sind und rechne bei falschen Ergebnissen die Aufgabe noch einmal neu (gesamter Rechenweg & Ergebnis).
a) 1
b) -36
c) -7
d) -12
e) 17
f) 17

Übung 5

• Wähle aus der App-Matrix mindestens 2 Übungen aus und löse diese.
  
• Erstelle selbst eine LearningApp unter deinem Schüleraccount. Deine Lehrerin wird alle Apps zu einer Klassen-Appmatrix zusammenstellen

Übung 6 - Tabellenkalkulation

Löse die Aufgabe mithilfe einer Tabellenkalkulation. Lade deine Datei im Gruppenordner Mathematik mit deinem Namen als Dateiname hoch.

• S. 98 Nr. 17

Anstelle der einzelnen Kästchen [siehe Buch, Abbildung Nr. 17)a)] musst du jeweils eine Formel eingeben.

Zur automatischen Berechnung des Gesamtpreises muss in den Zellen B5 bis H5 jeweils eine Formel eingegeben werden! Es reicht nicht, einfach nur die vorher berechneten Werte einzugeben.

Wenn du alles richtig gemacht hast, müssten folgende Ergebnisse herauskommen (siehe Zeile 5).

Weitere Übungen (für Schnellrechner)

Bearbeite die nachfolgenden Übungen.

• Übung 1
• Übung 2
• Übung 3

1.3 Terme aufstellen

Terme aufstellen

Du kannst für verschiedene Situationen, die in einem Text beschrieben sind, Terme aufstellen. Mögliche Situationen sind

• mathematische Texte
• geometrische Situationen
• Sachsituationen

Stelle einen Term auf, indem du
1. die Bedeutung der Variablen festlegst (Wofür hält die Variable den Platz frei?)

2. in der richtigen Reihenfolge Variablen, Zahlen und Rechenzeichen miteinander verknüpfst.

1.3.1 Terme aufstellen - Mathematische Texte

Vorübung 1: Mathematische Texte

Um mathematische Texte in Terme zu übersetzen, musst du die Fachbegriffe kennen. Übe dies im nachfolgenden Quiz und in der LearningApp.

Addition: 1. Summand + 2. Summand = Wert derSumme
Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Wert der Differenz
Multiplikation: 1. Faktor ∙ 2. Faktor = Wert des Produktes
Division: Dividend: Divisor = Wert des Quotienten

Addition	addieren	vermehren	plus
Subtraktion	subtrahieren	vermindern	minus
Multiplikation	multiplizieren	verdoppeln	vervielfachen	mal
Division	dividieren	halbieren	teilen	geteilt

Beachte: Die Art des Terms wird immer nach der Rechnung benannt, die man zuletzt ausführen muss!

Schreibe über den Aufgabentext die passenden Rechenzeichen. Dies hilft dir beim Aufstellen der Terme.

Übung 7

Löse auf der Seite Aufgabenfuchs die Aufgaben

• 13
• 14

und das nachfolgende Quiz.

Übung 8

Löse aus dem Buch die nachfolgenden Aufgaben. Notiere wie folgt im Heft:

Bedeutung der Variablen: x eine Zahl
Term: 12∙x

• S. 97 Nr. 7 (Hier arbeitest du "rückwärts", du sollst also den Text zum Term angeben.)
• S. 99 Nr. 1
• S. 99 Nr. 2
• S. 100 Nr. 6

a) Das Vierfache einer Zahl ODER Multipliziere eine Zahl mit 4 ODER...
b) Subtrahiere von 17 eine Zahl ODER Die Differenz aus 17 und einer Zahl ODER ...
c) Subtrahiere 10 vom Dreifachen einer Zahl ODER Die Differenz aus dem Dreifachen einer Zahl und 10 ODER ...
d) Dividiere eine Zahl durch 3 und subtrahiere 10 ODER Subtrahiere vom Quotienten aus einer Zahl und 3 die Zahl 10 ODER ...
e) Die Summe aus 3 und dem Fünffachen einer Zahl ODER Addiere das Fünffache einer Zahl zu 3 ODER ...

f) Die Summe aus der Hälfte einer Zahl und 10 ODER Addiere 10 zur Hälfte einer Zahl ODER ...

a) 15 - 9
b) 4 · 17
c) 34 - 11
d) 85 : 17
e) 7 + 2 · 7

Prüfe deine Lösungen zu S. 99 Nr. 2 und S. 100 Nr. 6 mithilfe der LearningApps:

1.3.2 Terme aufstellen - Geometrische Situationen

Vorübung 2: Geometrische Situationen

Um Terme für geometrische Situationen aufstellen zu können, musst du Kenntnisse über verschiedene Figuren haben. Löse das nachfolgende Quiz zur Wiederholung.

Quadrat		u = 4·a	A = a²
Rechteck		u = 2a + 2b	A = a·b
gleichschenkliges Dreieck		u = 2a + c	2 gleich lange Seiten	α+β+γ=180°
gleichseitiges Dreieck		u = 3a	3 gleich lange Seiten	α+β+γ=180°

Übung 9

Löse die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

• 1
• 3
• 4
• 7
• 8
• 18
• 22
• 23

Übung 10

Löse aus dem Buch die nachfolgenden Aufgaben. Notiere wie folgt im Heft:

Bedeutung der Variablen: a ... (z.B. Seitenlänge)
Term ...

• S. 97 Nr. 9
• S. 97 Nr. 10
• S. 100 Nr. 3
• S. 100 Nr. 4
• S. 100 Nr. 5

Umfang = drum herum (Die Ameise läuft um die Figur herum.)

Wenn man Terme zusammenfasst, um sie möglichst einfach zu schreiben, ordnet man die Variablen alphabetisch (erst x dann y).
Hier findet du nur die Lösungsterme. Denke daran, dass bei dir im Heft auch die Bedeutung der Variablen stehen muss!
Schaue nach, ob deine Ergebnisse richtig sind. Korrigiere sie gegebenenfalls und ergänze die vereinfachten Terme.
a) u = x + y + y = x + 2y
b) u = x + y + x + y = 2x + 2y

Ein Kantenmodell kannst du aus kleinen Holzspießen und gewässerten Erbsen herstellen. Die Modelle helfen dir bei der Lösung der Aufgabe

Hier findest du die Lösungen.
Würfel (Kantenmodell oben): 12 ∙ x
Doppeltetraeder (Kantenmodell zweite Reihe links): 9 ∙ x
Oktaeder (Kantenmodell zweite Reihe rechts): 12 ∙ x
Würfel mit aufgesetzter Pyramide (Kantenmodell dritte Reihe links): 12 ∙ x + 4 ∙ y

Würfel mit zwei aufgesetzten Pyramiden (Kantenmodell dritte Reihe rechts): 12 ∙ x + 8 ∙ y

a) Bedeutung der Variablen: x ist die Länge eines Teilstücks
Term: 5 ∙ x
b) Bedeutung der Variablen: y ist die Gesamtlänge
Term: y : 4
Ab hier findet du nur noch die Lösungsterme. Denke daran, dass bei dir im Heft auch die Bedeutung der Variablen stehen muss!
c) Term: m + n + n + m + n = 2 ∙ m + 3 ∙ n

d) Term: 12z : 3 = 4z

Hier stehen immer nur die Lösungsterme. Denke daran, dass bei dir im Heft auch die Bedeutung der Variablen stehen muss!
Umfang Figur A: u = a + a + a + a ODER u = 4a
Umfang Figur B: u = a + a + b ODER u = 2a + b
Umfang Figur C: u = a + b + a + b + a + b + a + b ODER u = 4a + 4b

Umfang Figur D: u = a + b + b + a + b + b + a + b + b + a + b + b ODER u = 4a + 8b

a) Umfang = 2 ∙ x + 3 ∙ x + 2 ∙ x + 3 ∙ x = (2x + 3x) ∙ 2 = 10x

b) Umfang = 2,5 ∙ x + 4 ∙ x + 2,5 ∙ x + 4 ∙ x = (2,5x + 4x) ∙ 2 = 13x

Übung 11

Löse die nachfolgenden Apps.

Zusatz (freiwillig): Erstelle eine LearningApp mit einer Aufgabe wie in den vorherigen Übungen (aus dem Buch). Zeichne deine Figuren in dein Heft und nutze für die App ein Foto.

Und eine App für Profis:

1.3.3 Terme aufstellen - Sachsituationen

Vorübung 3: Sachsituationen

Überlege zunächst, welche Bedeutung die Variable hat. Ordne dann den Termen die passende Bedeutung zu.

In allen Anwendungsbereichen ist es wichtig, dass du den Text genau liest, dir die Situation vorstellst und mit eigenen Worten beschreibst.

Übung 12

Löse die Aufgaben auf der Seite Aufgabenfuchs

• 12

Übung 13

Löse aus dem Buch die nachfolgenden Aufgaben. Notiere wie folgt im Heft:

Bedeutung der Variablen: x ... (z.B. Eintrittspreis eines Erwachsenen)
Term ...

• S. 97 Nr. 4
• S. 97 Nr. 5 (Hier arbeitest du "rückwärts", du sollst also eine Geschichte zum Term angeben.)
• S. 97 Nr. 8
• S. 100 Nr. 7
• S. 100 Nr. 8
• S. 109 Nr. 2

Eine mögliche Lösung zu a) ist

Ich gehe ins Kino, der Eintritt beträgt 6,25 €. Zusätzlich kaufe ich vier Getränke für je 2,50 €.

a) 2 ∙ y - 30; y steht für das Gewicht
b) c : 4; c steht für den ganzen Kuchen

c) t ∙ 4; t steht für das vorherige Tempo

a) x steht für die Teilnehmerzahl; 3€ ∙ x + 25€

b) 61 €; 79 €; 88 €; 115 €

a) Anzahl der Jungen: $\tfrac{3}{4}$n
b) Alter der Mutter: 3y
c) x steht für die Anzahl der Goldorfen, also Anzahl der Goldfische: x + 4

d) a steht für den Preis eines Heftes und b steht für den Preis eines Umschlags, also: 4a + 5y = 6 [€]

Die nachfolgende Aufgabe wurde der Seite https://unterrichten.zum.de/wiki/Vera_8_interaktiv/Mathematik/Test_C entnommen. Sie wurde unter der Lizenz CC BY SA veröffentlicht. (Die Bilder wurden von Buss-Haskert geändert)

Übung 14 - Streichholzketten 1

Mit Streichhölzern kann man Ketten mit Quadraten legen.

a) Übertrage die Tabelle in dein Heft. Schreibe jeweils die Anzahl der benötigten Streichhölzer in die freien Kästchen.

bei 3 Quadraten 10 Streichhölzer und bei 4 Quadraten 13 Streichhölzer

b) Streichholzkette

Wie viele Streichhölzer werden für 12 solche Quadrate benötigt? Kreuze die richtige Antwort an.

(!23) (!24) (!36) (37) (!48)

c) Streichholzkette

Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen der Anzahl k der Quadrate und der Anzahl s der benötigten Streichhölzer allgemein beschreibt.

z.B.: s = 3k + 1

Übung 15- Streichholzketten 2

Mit Streichhölzern kannst du auch Ketten von Dreiecken legen.
Möglichkeit 1:

Möglichkeit 2:

Lege die Streichholzmuster nach und denke dir zu beiden Möglichkeiten Aufgabenstellungen wie in Übung 14 aus. Notiere diese Aufgaben und die zugehörigen Lösungen in deinem Heft.

Zusatzaufgabe für Profis: Erstelle eine LearningApp zu einer Streichholzkettenaufgabe.

Für die 2. Möglichkeit könnte eine LearningApp wie folgt aussehen:

Übung 16 - Figuren

Zeichne die Figuren in dein Heft und denke dir Aufgabenstellungen wie in Übung 14 aus. Notiere diese Aufgaben und die zugehörigen Lösungen in deinem Heft.

Übung 17 - Bilderfolge Punkte

a) Wie viele Punkte hat die Bilderfolge an der 5. Stelle?
b) Wie viele Punkte hat die Bilderfolge an der 15. Stelle? Wie viele an der 100. Stelle? Finde die Lösung ohne zu zeichnen.

c) Gib einen Term an, mit dem du die Punkte an der n. Stelle berechnen kannst.

Übung 18 - Aufgaben von Schülern für Schüler

2) Terme vereinfachen