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Aufgabe 2: Sightseeing in Paris 1 - Der Louvre

Nutze für diese Aufgabe das Arbeitsblatt „Pyramiden verknüpfen“.

Glaspyramide im Innenhof des Louvre.

Du machst mit deiner Familie Urlaub in Paris und besichtigst einige Sehenswürdigkeiten. Zuerst nehmt ihr an einer Führung durch das berühmte Museum Louvre teil. Das nebenstehende Bild zeigt die im Innenhof des Louvre stehende Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche.

Während eurer Führung durch das Museum stellt eine Touristin folgende Frage: „Wie lang sind die Edelstahlträger an den Seitenkanten der Pyramide?" Der Touristenführer weiß nur, dass die Pyramide 21 Meter hoch ist.

a) Beurteile, ob diese Angabe genügt, um die Länge eines Stahlträgers zu berechnen. Falls dem nicht so ist, gib Größen an, die zusätzlich benötigt werden.

b) Ein anderer Tourist findet im Internet eine Angabe zur Seitenlänge der quadratischen Grundfläche von 35 Metern. Berechne mithilfe der gegeben Größen die Länge eines Stahlträgers an der Seitenkante der Pyramide.

Tipp 1 zu b) anzeigen

Zeichne zur Veranschaulichung eine passende Pyramide auf dein Arbeitsblatt.

Tipp 2 zu b) anzeigen

Du kannst zur Berechnung der gesuchten Seite den Satz des Pythagoras beliebig oft anwenden.

Tipp 3 zu b) anzeigen

Überlege dir Hilfsdreiecke innerhalb der Pyramide, in denen du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.

Tipp 4 zu b) anzeigen

Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen mögliche Hilfsdreiecke anzeigen lassen.

Lösung zu b) anzeigen

Gegeben sind die Höhe der Pyramide mit $h=21~\mathrm{m}$ und die Seitenlänge der Grundfläche mit $a=35~\mathrm{m}$. Du kannst verschiedene Kombinationen an Hilfsdreiecken nutzen, um die Länge eines Stahlträgers zu bestimmen. Im Folgenden zeigen wir eine dieser Möglichkeiten.

Zunächst berechnen wir Diagonalenlänge $d_a$ der Pyramidengrundfläche mit Hilfe des Satzes des Pythagoras: $\begin{align} & & (35~\mathrm{m})^2+ (35~\mathrm{m})^2 &=d_a^2 & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 2450~\mathrm{m}^2 &=d_a^2 & &\mid \sqrt{} \\ \Leftrightarrow & & \sqrt{2450~\mathrm{m}^2} &=d_a & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 49{,}50~\mathrm{m} &\approx d_a & & \end{align}$

Nun betrachten wir das Dreieck bestehend aus der Seite $\frac{d_a}{2}$, der Höhe $h=21~\mathrm{m}$ der Pyramide und der Seitenkante $s$. Mithilfe des Satzes des Pythagoras lässt sich $s$ berechnen:

$\begin{align} & & \left(\frac{d_a}{2}\right)^2+ h^2 &=s^2 & &\mid \sqrt{}\\ \Leftrightarrow & & \sqrt{\left(\frac{d_a}{2}\right)^2+ h^2} &=s & &\mid \text{Werte einsetzen} \\ \Leftrightarrow & & \sqrt{\left(\frac{49{,}50~\text{m}}{2}\right)^2+ (21~\text{m})^2} &=s & &\mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & 32{,}46~\mathrm{m} &\approx s & & \end{align}$

Die Länge eines Stahlträgers der Pyramide beträgt demnach etwa $32{,}46~\mathrm{m}^2$.

c) Ebenfalls kam die Frage auf, wie viele Quadratmeter Glasfläche die Reinigungsfirma von außen putzen muss. Beantworte die Frage durch mathematische Rechnungen.

Tipp 1 zu c) anzeigen

Die Größe der Glasfläche entspricht der Mantelfläche der Pyramide.

Tipp 2 zu c) anzeigen

Verwende die berechnete Länge eines Stahlträgers aus Aufgabenteil b) und bestimme damit in einem geeigneten Hilfsdreieck die Seitenhöhe der Pyramide.

Tipp 3 zu c) anzeigen

Im nachstehenden GeoGebra-Applet kannst du dir durch das Anklicken der einzelnen Boxen verschiedene Hilfsdreiecke in der Pyramide anzeigen lassen. Suche das geeignete Hilfsdreieck, um die Seitenhöhe zu berechnen.

Lösung zu c) anzeigen

Es wird der Satz des Pythagroas auf das Dreieck, welches aus einer Seitenkante $s \approx 32{,}46~\mathrm{m}$ der Pyramide , der Höhe der Pyramidenseite $h_a$ und der Hälfte der Seitenlänge der Grundfläche $\frac{a}{2} = \frac{35~\mathrm{m}}{2}$ besteht, angewendet. Damit folgt für die Höhe der Pyramidenseite $h_a$:

$\begin{align} & & h_a^2+ \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2 &= s^2 & & \mid -\left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2 \\ \Leftrightarrow & & h_a^2 &= s - \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2 & &\mid \sqrt{} \\ \Leftrightarrow & & h_a &= \sqrt{ s^2 - \left(\frac{35~\mathrm{m}}{2}\right)^2} & & \mid \text{Werte einsetzen} \\ \Leftrightarrow & & h_a &\approx \sqrt{ (32{,}46~\mathrm{m})^2 - (17{,}5~\mathrm{m})^2} & & \mid \text{Termumformung}\\ \Leftrightarrow & & h_a &\approx 27{,}34~\mathrm{m} & & \end{align}$

Die Fläche einer Glaswand $A_\text{Seitenfläche}$ wird wie folgt berechnet: $\begin{align} & & A_\text{Seitenfläche} &= h_a \cdot \frac{35~\mathrm{m}}{2} & & \mid \text{Werte einsetzen} \\ \Leftrightarrow & & A_\text{Seitenfläche} &\approx 27{,}34~\mathrm{m} \cdot 17{,}5~\mathrm{m} & &\mid \text{Termumformung} \\ \Leftrightarrow & & A_\text{Seitenfläche} &\approx 478{,}45~\mathrm{m}^2 & & \end{align}$

Die gesamte Glasfläche der Pyramide $M$ besteht aus vier identischen Glaswandflächen $A_\text{Seitenfläche} \approx 478{,}45~\mathrm{m}^2$: $\begin{align} & & M &= 4 \cdot A_\text{Seitenfläche} & & \mid \text{Werte einsetzen} \\ \Leftrightarrow & & M &\approx 4 \cdot 478{,}45~\mathrm{m}^2 & & \mid \text{Termumformung} \\ \Leftrightarrow & & M &\approx 1913{,}8~\mathrm{m}^2 & & \end{align}$

Damit besitzt eine Glaswand eine Fläche von etwa $478{,}45~\mathrm{m}^2$. Die gesamte Glasfläche der Pyramide beträgt demnach rund $1913{,}8~\mathrm{m}^2$.

d) Vergleiche deine Vorgehensweise in den Aufgabenteilen b) und c) hinsichtlich gemeinsamer Teilschritte? Markiere und benenne diese in deinen Aufzeichnungen.

Checkliste zur Bestimmung der Mantelfläche

In Aufgabe 2 hast du bereits eine Möglichkeit zur Bestimmung der Mantelfläche einer Pyramide erkundet und in Aufgabenteil 2d) auch schon angefangen, die dazu nötige Vorgehensweise zu beschreiben.

a) In dem folgenden Applet wird die allgemeine Vorgehensweise noch einmal zusammengefasst. Bringe die einzelnen Teilschritte in die richtige Reihenfolge.

b) zurück zum Arbeitsblatt

Übertrage die Checkliste auf dein Arbeitsblatt „Pyramiden verknüpfen“.