Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):<br> | {{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):<br> | ||
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}} | [[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}} | ||
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{{Box|Übung 1: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. | |||
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{{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}} | {{Box|Exponentialgleichung - Formel umstellen|[[Datei:Umstellen der Exponentialgleichung.png|rahmenlos|600x600px]]|Arbeitsmethode}} | ||
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≈ 7,86<br> | ≈ 7,86<br> | ||
Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}} | Vor 30 Jahren betrug die Fläche der Arktis noch ca. 7,86 Mio km².|2=Musterlösung|3=Verbergen}} | ||
{{Box|Übung 2: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. | |||
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{{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.<br> | {{Box|Anwendungsaufgabe 3: Mietpreissteigerung (q und p% gesucht)|[[Datei:House-g7ece683db 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Die Miete für eine Wohnung stieg innerhalb von 5 Jahren von 600€ auf 730€.<br> | ||
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{{Box|Übung 3: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. | |||
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{{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken. <br> | {{Box|Anwendungsaufgabe 4: Temperaturabnahme (n gesucht)|[[Datei:Tea-pot-gc1ced1e73 1280.png|rechts|rahmenlos|100x100px]]Eine Tasse Tee wird mit kochendem Wasser (100°C) aufgegossen. Die Temperatur sinkt jede Minute um 5%. Es wird empfohlen, Getränke nicht heißer als 65° zu trinken. <br> | ||
Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}} | Nach wie vielen Minuten ist der Tee kalt genug? |Üben}} | ||
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|2=Musterlösung|3=Verbergen}} | |2=Musterlösung|3=Verbergen}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 4: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die folgenden Aufgaben. | ||
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{{Box|Übung 6|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. | |||
* S. 73 Nr. 1 | * S. 73 Nr. 1 | ||
* S. 73 Nr. 2 | * S. 73 Nr. 2 | ||
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Lösung: W<sub>10</sub> = ... ≈ 31,2%<br> | Lösung: W<sub>10</sub> = ... ≈ 31,2%<br> | ||
In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%. |2=Tipp zu Nr. 11|3=Verbergen}} | In 10m Tiefe beträgt die Lichtintensität nur noch 31,2%. |2=Tipp zu Nr. 11|3=Verbergen}} | ||
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{{Box|ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der ANTON-App|Üben}} | {{Box|Übung 7: Aufgabenfuchs|Bearbeite auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/potenz/exp_wachstum.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die vermischten Aufgaben. | ||
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{{Box|Übung 8: ANTON-APP|Bearbeite die Übungen zum exponentiellen Wachstum in der ANTON-App.|Üben}} | |||
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===3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung=== | ===3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung=== | ||
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br> | {{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br> | ||
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{{Box|1=Übung | {{Box|1=Übung 9 (online)|2=Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | ||
* 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen) | * 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen) | ||
* 2 (Nutze die Zinseszinsformel K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>) | * 2 (Nutze die Zinseszinsformel K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>) | ||
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{{Box|Übung | {{Box|Übung 10|a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.<br> | ||
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}} | b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}} | ||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}} | {{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}} | ||
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{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}} | {{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 11 (online)|Wähle aus den folgenden Aufgaben '''mindestens zwei''' Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] | ||
* 5 | * 5 | ||
* 6 | * 6 | ||
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* 9|Üben}} | * 9|Üben}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 12 - Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | ||
* S. 73 Nr. 3|Üben}} | * S. 73 Nr. 3|Üben}} | ||
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Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}} | Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}} | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 13 - Anwendungsaufgaben zur Zinseszinsrechnung|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | ||
* S. 73 Nr. 5 (**) | * S. 73 Nr. 5 (**) | ||
* S. 79 Nr. 1 | * S. 79 Nr. 1 | ||
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Applet von Hegius, R. Schürz | Applet von Hegius, R. Schürz | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 14 - Generationszeit und Halbwertszeit|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. | ||
* S. 75 Nr. 10 | * S. 75 Nr. 10 | ||
* S. 79 Nr. 4 | * S. 79 Nr. 4 |
Version vom 27. Dezember 2021, 17:16 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion
3 Exponentielles Wachstum
Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W11 = W0 ∙ q11
= 7,70 ∙ 1,02511
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.
3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen
geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W5
Wn = W0 · qn
W5 = 1,38 · 1,0085
= 1,436
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
![Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png](/images/thumb/5/5a/Taschenrechner_Exponent_eingeben_markiert.png/300px-Taschenrechner_Exponent_eingeben_markiert.png)
geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W0
Wn = W0 · qn | : qn
W0 =
W0 =
=
≈ 7,86
geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5
ges: q bzw. p%
Wn = W0 · qn | : W0
= qn |
W0 = q
1,04 ≈ q
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
geg: W0 = 100°; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95
ges: n
Wn = W0 · qn | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)
Für n = 1 gilt:
W1 = W0 · q1 |
= 100 · 0,951
= 95 (°C)
...
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8 |
= 100 · 0,958
≈ 66,3 (°C)
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9 |
= 100 · 0,959
≈ 63,0 (°C)
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3
ges: W1; W2; ...; W5
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g
ges: n
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g
geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W2
geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009
ges: W0 (2013) und W1 (2014)
geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W5
geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W40
geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe)
ges: W10
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2%
3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Generationszeit und Halbwertszeit
- Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Applet von Hegius, R. Schürz
- Halbwertszeit (Atome)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Applet von Hegius, R. Schürz