Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
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= 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}} | = 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}} | ||
{{Box|1=Umstellen der Zinseszinformel|2=<div class="grid"> | |||
<div class="width-1-2">*<big> Formel umstellen nach K<sub>0</sub></big> ("Wie hoch war das Startkapital...?):<br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:q<sup>n</sup><br> | K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:q<sup>n</sup><br> | ||
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K<sub>0</sub><br> | <math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K<sub>0</sub><br> | ||
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<div class="width-1-2">*<big>Formel umstellen nach q </big>("Mit welchem Prozentsatz ...?):<br> | |||
*<big>Formel umstellen nach q </big>("Mit welchem Prozentsatz ...?):<br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:K<sub>0</sub><br> | K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:K<sub>0</sub><br> | ||
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Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.<br> | Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.<br> | ||
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*<big>Formel umstellen nach n </big>("Nach wie vielen Jahren...?"):<br><br> | *<big>Formel umstellen nach n </big>("Nach wie vielen Jahren...?"):<br><br> | ||
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später. <br> | Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später. <br> | ||
Löse hier also durch systematisches'''Probieren'''!<br> | Löse hier also durch systematisches'''Probieren'''!<br> | ||
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.<br> | Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.<br> | ||
<br><br> | <br><br>|3=Arbeitsmethode}} | ||
{{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}} | {{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}} |
Version vom 27. Dezember 2021, 13:30 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
4) Die Exponentialfunktion
3 Exponentielles Wachstum
Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W11 = W0 ∙ q11
= 7,70 ∙ 1,02511
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.
3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen
geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W5
Wn = W0 · qn
W5 = 1,38 · 1,0085
= 1,436
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W0
Wn = W0 · qn | : qn
W0 =
W0 =
=
≈ 7,86
geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5
ges: q bzw. p%
Wn = W0 · qn | : W0
= qn |
W0 = q
1,04 ≈ q
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
geg: W0 = 100°; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95
ges: n
Wn = W0 · qn | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)
Für n = 1 gilt:
W1 = W0 · q1 |
= 100 · 0,951
= 95 (°C)
...
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8 |
= 100 · 0,958
≈ 66,3 (°C)
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9 |
= 100 · 0,959
≈ 63,0 (°C)
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3
ges: W1; W2; ...; W5
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g
ges: n
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g
geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W2
geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009
ges: W0 (2013) und W1 (2014)
geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W5
geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W40
geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe)
ges: W10
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2%
3.2) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Generationszeit und Halbwertszeit
- Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)
Applet von Hegius, R. Schürz
- Halbwertszeit (Atome)
Applet von Hegius, R. Schürz