Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/exponentielles Wachstum: Unterschied zwischen den Versionen
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
KKeine Bearbeitungszusammenfassung Markierung: 2017-Quelltext-Bearbeitung |
||
Zeile 130: | Zeile 130: | ||
===3.2) Anwendung des exponetiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung=== | ===3.2) Anwendung des exponetiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung=== | ||
{{Box|1=Zinseszins|2=Zinseszins bedeutet, dass ein Startkapital Zinsen erwirtschaftet und diese Zinsen werden dem Vermögen am Jahresende gutgeschrieben. So werden in Zukunft diese Zinsen ebenfalls verzinst.<br> | |||
Das Kapital nach n Jahren wird mit der Formel <br> | |||
'''<big>K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ (1+p%)<sup>n</sup><br> | |||
<br> | |||
'''= K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> mit q = 1 + p%'''</big>'''<br> | |||
|3=Arbeitsmethode}} | |||
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum. | |||
<br> | |||
{{Box|1=Übung 2 (online)|2=Löse auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] die Aufgaben | |||
* 1 (Hier kannst du z.B. das Einstiegsbeispiel einstellen) | |||
* 2 (Nutze die Zinseszinsformel K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>) | |||
* 3 (Nutze die Zinseszinsformel K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup>)|3=Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):<br> | |||
[[Datei:Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png|rahmenlos|565x565px]]|2=Tipp zur Eingabe von Exponenten (Hochzahlen) in den Taschenrechner|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 3|a) Ein Kapital von 2000€ wird zu einem Zinssatz von 2% angelegt. Berechne das Kapital nach 4 Jahren.<br> | |||
b) Ein Vermögen von 7500€ wird zu einem Zinssatz von 1,5% angelegt (mit Zinseszins). Berechne das Kapital nach 5 Jahren.|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösung mit dem Beispiel a) auf S. 73 oben.|Tipp zu a)|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5<br> | |||
K<sub>5</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>5</sup> <br> | |||
= 7500 ∙ 1,015<sup>5</sup><br> | |||
= 8079,63 (€)|2=Tipp zu b)|3=Verbergen}} | |||
==== 2) Umstellen der Zinseszinsformel ==== | |||
*<big> Formel umstellen nach K<sub>0</sub></big> ("Wie hoch war das Startkapital...?):<br><br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:q<sup>n</sup><br> | |||
<math>\tfrac{K_n}{q^n}</math>= K<sub>0</sub><br> | |||
<br> | |||
<br> | |||
*<big>Formel umstellen nach q </big>("Mit welchem Prozentsatz ...?):<br><br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> |:K<sub>0</sub><br> | |||
<math>\tfrac{K_n}{K^0}</math> = q<sup>n</sup> |<math>\sqrt[n]{}</math><br> | |||
<math>\sqrt[n]{\tfrac{K_n}{K_0}}</math> = q<br> | |||
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.<br> | |||
{{Lösung versteckt|Die n-te Wurzel bestimmst du mit dem Taschenrechner mit der Tastenkombination im Bild<br> | |||
[[Datei:Taschenrechner Bild n-te Wurzel.png|rahmenlos]]|Tipp: n-te Wurzel in den Taschenrechner eingeben|Verbergen}} | |||
<br><br> | |||
*<big>Formel umstellen nach n </big>("Nach wie vielen Jahren...?"):<br><br> | |||
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später. <br> | |||
Löse hier also durch '''Probieren'''!<br> | |||
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.<br> | |||
<br><br> | |||
{{Box|Hefteintrag: Beispiele|Übertrage die Beispielaufgaben und die Lösungen aus dem Video in dein Heft. Starte das Video und stoppe es nach jedem Beispiel a), b) und c). Notiere vollständig und übersichtlich in deinem Heft.|Arbeitsmethode}} | |||
{{#ev:youtube|QnerUmGTvJo|800|center|||start=193&end=420}} | |||
{{Box|Übung 4 (online)|Wähle aus den folgenden Aufgaben '''mindestens zwei''' Aufgaben aus und löse: Aufgaben auf der Seite [https://mathe.aufgabenfuchs.de/zins/zinseszins.shtml '''Aufgabenfuchs'''] | |||
* 5 | |||
* 6 | |||
* 7 | |||
* 8 | |||
* 9|Üben}} | |||
{{Box|Übung 5 |Löse die Aufgabe aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | |||
* S. 73 Nr. 3|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) geg:...<br> | |||
ges: q; K<sub>n</sub><br> | |||
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015<br> | |||
K<sub>5</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>5</sup> Setze die Werte ein und berechne mit dem Taschenrechner.|2=Tipp zu Nr. 3a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=b) geg:...<br> | |||
ges: p%; K<sub>n</sub><br> | |||
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%<br> | |||
Berechne K<sub>n</sub> durch einsetzen der Werte in die Formel.|2=Tipp zu Nr. 3b|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=c) geg: ...<br> | |||
ges: K<sub>0</sub>; p%<br> | |||
Stelle die Formel nach K<sub>0</sub> um und setze dann die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 3c|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=d)geg: ...<br> | |||
ges: q und p%<br> | |||
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.<br> | |||
Berechne dann p% mit p% = q-1 (Wandel den Dezimalbruch in Prozent um.)|2=Tipp zu Nr. 3d|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=e) geg: ...<br> | |||
ges: q; n<br> | |||
q = 1 + p% = ...<br> | |||
Bestimme n durch Probieren.<br> | |||
Setze für n die Zahlen 1, 2, 3, ... ein und prüfe, für welchen Wert von n die Gleichung eine wahre Aussage ergibt.|2=Tipp zu Nr. 3e|3=Verbergen}} | |||
{{Box|Übung 6 - Anwendungsaufgaben|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Notiere die gegebenen und gesuchten Größen, stelle die Formel für die Zinsrechnung nach der gesuchten Größe um und berechne. | |||
* S. 73 Nr. 5 (**) | |||
* S. 79 Nr. 1 | |||
* S. 83 Nr. 10 | |||
* S. 87 Nr. 6 | |||
* S. 87 Nr. 7 | |||
|Üben}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K<sub>0</sub> = 1000€<br> | |||
geg: K<sub>0</sub> = 1000€; K<sub>n</sub> = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018<br> | |||
Löse durch Probieren, für welchen Wert die Zinseszinsformel eine wahre Aussage ergibt oder K<sub>n</sub> mehr als 2000€ beträgt.|2=Tipp zu Nr. 5a|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche die beiden Angebote:<br> | |||
Angebot A: <br> | |||
geg: K<sub>0</sub> = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre<br> | |||
ges: K<sub>n</sub><br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> Setze ein und berechne.<br> | |||
<br> | |||
Angebot B:<br> | |||
geg: K<sub>0</sub> = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K<sub>7</sub> gibt es zusätzlich 10%.<br> | |||
K<sub>n</sub> = K<sub>0</sub> ∙ q<sup>n</sup> Setze ein und berechne.<br> | |||
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K<sub>7</sub> noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:<br> | |||
Endkapital K<sub>Ende</sub> = K<sub>7</sub> ∙ 1,1 ...<br> | |||
denn p% = 10% = 0,1, also gilt q = 1,1.|2=Tipp zu Nr. 1|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=a) geg: K<sub>0</sub> = 2800€; n = 5; K<sub>5</sub> = 3607,75€;<br> | |||
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).<br> | |||
b) K<sub>0</sub> = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; K<sub>n</sub> = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")<br> | |||
ges: n <br> | |||
Löse durch Probieren!<br> | |||
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K<sub>8</sub> = 6776,25€<br> | |||
ges: K<sub>0</sub><br> | |||
Stelle die Zinseszinsformel nach K<sub>0</sub> um und setzte die gegebenen Werte ein.|2=Tipp zu Nr. 10|3=Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|Vergleiche deine Lösungen mit denen hinten im Buch. (Rückspiegelaufgaben)|Tipp zu Nr. 6 und 7|Verbergen}} | |||
{{Lösung versteckt|1=Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)<br> | |||
K<sub>0</sub> = 500€; K<sub>0</sub> = 4500€<br> | |||
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%; <br> | |||
q=1,015; q = 1,01; q =1,03<br> | |||
K<sub>n</sub>=8079,63€; K<sub>n</sub> = 11685,39€; K<sub>n</sub> = 11098,45€<br> | |||
n = 10 Jahre; n = 39 Jahre; n = 16 Jahre|2=Vergleiche deine Lösungen zu den Übungen 4 und 5|3=Verbergen}} | |||
===3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Generationszeit und Halbwertszeit=== | ===3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Generationszeit und Halbwertszeit=== | ||
* Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien) | |||
*Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien) | |||
<ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" /> | <ggb_applet id="etu2dsm8" width="566" height="663" border="888888" /> | ||
Applet von Hegius, R. Schürz | Applet von Hegius, R. Schürz | ||
* Halbwertszeit (Atome) | *Halbwertszeit (Atome) | ||
<ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" /> | <ggb_applet id="fvudcjym" width="1100" height="650" border="888888" /> | ||
Applet von Hegius, R. Schürz | Applet von Hegius, R. Schürz | ||
{{Box|Übung | {{Box|Übung 7 - Generationszeit und Halbwertszeit|Löse die Aufgaben aus dem Buch. Achte auf eine vollständige und übersichtliche Darstellung. | ||
* S. 75 Nr. 10 | * S. 75 Nr. 10 | ||
* S. 79 Nr. 4 | * S. 79 Nr. 4 | ||
Zeile 155: | Zeile 278: | ||
* S. 80 Nr. 9 | * S. 80 Nr. 9 | ||
* S. 80 Nr. 10|Üben}} | * S. 80 Nr. 10|Üben}} | ||
{{Fortsetzung|weiter=4 Die Exponentialfunktion|weiterlink=Benutzer:Buss-Haskert/Exponentialfunktion/Exponentialfunktion}} | |||
Version vom 27. Dezember 2021, 13:15 Uhr
SEITE IM AUFBAU
1) Lineares und exponentielles Wachstum (Einstieg)
2) Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
3) Exponentielles Wachstum
3 Exponentielles Wachstum
Prognose für das Jahr 2030: n = 11
W11 = W0 ∙ q11
= 7,70 ∙ 1,02511
Die Gleichung Wn = W0 · qn heißt Exponentialgleichung, da die Variable n im Exponenten steht.
3.1 Exponentielles Wachstum: Beispiele und Anwendungen
geg: W0 = 1,38 Mrd.; p% = 0,8% = 0,008, also ist q = 1+0,008 = 1,008; n = 5 (von 2020 - 2025)
ges: W5
Wn = W0 · qn
W5 = 1,38 · 1,0085
= 1,436
geg: W30 = 4,7 Mio km²; p% = -1,7% = -0,017, also ist q = 1-0,017 = 0,983; n = 30
ges: W0
Wn = W0 · qn | : qn
W0 =
W0 =
=
≈ 7,86
geg: W0 = 600 €; W5 = 730 €; n = 5
ges: q bzw. p%
Wn = W0 · qn | : W0
= qn |
W0 = q
1,04 ≈ q
p% = q - 1 = 0,04 = 4%
geg: W0 = 100°; Wn = 65°C ; p% = -5% = -0,05, also q = 1-0,05 = 0,95
ges: n
Wn = W0 · qn | Löse durch systematisches Probieren (Wertetabelle)
Für n = 1 gilt:
W1 = W0 · q1 |
= 100 · 0,951
= 95 (°C)
...
Für n = 8 gilt:
W8 = W0 · q8 |
= 100 · 0,958
≈ 66,3 (°C)
Für n = 9 gilt:
W9 = W0 · q9 |
= 100 · 0,959
≈ 63,0 (°C)
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3
ges: W1; W2; ...; W5
geg: W0 = 200 g; p% = 30% = 0,3, also q = 1+0,3 = 1,3; Wn = 1200 g
ges: n
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 4. Löse durch systematische Probieren.
Lösung:
für n = 6 ist W6 = ... ≈965,4 g
für n = 7 ist W7 = ... ≈ 1254,9 g
geg: W0 = 18700 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009; n = 2 (von 2013 bis 2015)
ges: W2
geg: W2 = 22500 €; p% = 0,9% = 0,009, also q = 1+0,009 = 1,009
ges: W0 (2013) und W1 (2014)
geg: W0 = 26200 €(im Jahr 2018); p% = 2,3% = 0,023, also q = 1+0,023 = 1,023; n = 5 (von 2018 bis 2023)
ges: W5
geg: W0 = ... (Bevölkerungszahlen im Jahr 2010); p% = 1,2% = 0,012, also q = 1+0,012= 1,012 usw.; n = 40 (von 2010 bis 2050)
ges: W40
geg: W0 = 100% (Lichtintensität); p% = -11% = -0,11, also q = 1-0,11 = 0,89; n = 10 (in 10m Tiefe)
ges: W10
Rechne wie in Anwendungsaufgabe 1.
Lösung: W10 = ... ≈ 31,2%
3.2) Anwendung des exponetiellen Wachstums: Zinseszinsrechnung
Bei diesem Kapitalwachstum handelt es sich um ein exponentielles Wachstum.
Du nutzt folgende Taste beim Taschenrechner, um Exponenten größer als 3 einzugeben (hier z.B. n = 8):
![Taschenrechner Exponent eingeben markiert.png](/images/thumb/5/5a/Taschenrechner_Exponent_eingeben_markiert.png/300px-Taschenrechner_Exponent_eingeben_markiert.png)
geg:K = 7500€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1 + 0,015 =1,015; n = 5
K5 = K0 ∙ q5
= 7500 ∙ 1,0155
2) Umstellen der Zinseszinsformel
- Formel umstellen nach K0 ("Wie hoch war das Startkapital...?):
Kn = K0 ∙ qn |:qn
= K0
- Formel umstellen nach q ("Mit welchem Prozentsatz ...?):
Kn = K0 ∙ qn |:K0
= qn |
= q
Bestimme dann p% mit q = 1+ p%, also q-1 = p%.
- Formel umstellen nach n ("Nach wie vielen Jahren...?"):
Das Umstellen der Formel nach n erfordert die Anwendung des Logarithmus. Dies lernst du erst später.
Löse hier also durch Probieren!
Setze für n verschiedene Zahlen ein und teste, für welchen Wert von n die Gleichung erfüllt wird.
a) geg:...
ges: q; Kn
q = 1 + p% = 1 + 0,015 = 1,015
b) geg:...
ges: p%; Kn
p% = q - 1 = 1,035 - 1 = 0,035 = 3,5%
c) geg: ...
ges: K0; p%
d)geg: ...
ges: q und p%
Stelle die Formel nach q um und setzte die gegebene Größen ein. Bestimme so den Wert für q.
e) geg: ...
ges: q; n
q = 1 + p% = ...
Bestimme n durch Probieren.
Rechne zunächst mit einem Betrag von z.B. K0 = 1000€
geg: K0 = 1000€; Kn = 2 ∙ 1000€ = 2000€; p% = 1,8% = 0,0018, q = 1 + 0,018 = 1,018
Vergleiche die beiden Angebote:
Angebot A:
geg: K0 = 10000€; p% = 2,25% = 0,0225, also q = 1,0225; n = 7 Jahre
ges: Kn
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Angebot B:
geg: K0 = 10000€; p% = 1,5% = 0,015, also q = 1,015; n = 7 Jahre; auf das Kapital nach 7 Jahren K7 gibt es zusätzlich 10%.
Kn = K0 ∙ qn Setze ein und berechne.
Berechne dann das Endkapital, indem du auf K7 noch einmal einen Aufschlag von 10% rechnest:
Endkapital KEnde = K7 ∙ 1,1 ...
a) geg: K0 = 2800€; n = 5; K5 = 3607,75€;
ges: Zinssatz p% (Berechne zunächst q und damit dann p%).
b) K0 = 5000€; p% = 4,5 = 0,045, also q = 1,045; Kn = 2 ∙ 5000€ = 10000€ ("verdoppelt")
ges: n
Löse durch Probieren!
c) geg: n = 8 Jahre; p% = 5,25% = 0,0525, also q = 1 + 0,0525 = 1,0525; K8 = 6776,25€
ges: K0
Vergleiche deine Lösungen zu den Aufgaben oben (bunte Mischung)
K0 = 500€; K0 = 4500€
p% = 1,2%; p% = 1%; p% = 3,5%; p% = 5,2%;
q=1,015; q = 1,01; q =1,03
Kn=8079,63€; Kn = 11685,39€; Kn = 11098,45€
3.3) Anwendung des exponentiellen Wachstums: Generationszeit und Halbwertszeit
- Generationszeit/ Verdopplungszeit (Bakterien)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Applet von Hegius, R. Schürz
- Halbwertszeit (Atome)
![GeoGebra](/extensions/GeoGebra/images/geogebra-logo.png)
Applet von Hegius, R. Schürz