Benutzer:Buss-Haskert/Quadratische Funktionen

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© Raimond Spekking / CC BY-SA 4.0 (via Wikimedia Commons)

Jardín de flores

Künstler: User:Evdcoldeportes

Quadratische Funktionen und Gleichungen

In diesem Lernpfad zu quadratischen Funktionen und Gleichungen lernst du

• Was eine quadratische Funktion und eine quadratische Gleichung ist,
• dass die Graphen quadratischer Funktionen Parabeln sind,
• welche Parameter der Funktionsgleichung für die Form und Lage der Parabel verantwortlich sind,
• wie du Nullstellen quadratischer Funktionen berechnest,
• mit quadratischen Funktionen und Gleichungen zu modellieren.

Die Aufgaben beziehen sich auf das Buch "Schnittpunkt Mathematik - Differenzierende Ausgabe" des Klett-Verlages

1 Mathematik im Sportunterricht - Quadratische Funktionen entdecken

Mathematik im Sportunterricht

Wähle eine Wurf-bzw. Stoßbewegung aus und beantworte die nachfolgenden Fragen.

• Weitwurf
• Kugelstoßen
• Weitsprung
• Basketball-Korbwurf

Beobachte jeweils die Flugkurve des Balls/der Kugel/der springenden Person und skizziere diese im Heft.
Welche Bedeutung haben die Koordinatenachsen? Beschrifte!

Stelle Fragen, die mithilfe der gezeichneten Kurve beantwortet werden können.

Mögliche Fragen könnten sein:

• In welcher Höhe wird der Ball abgeworfen?
• Wie hoch fliegt der Ball maximal?
• Wie weit fliegt der Ball?

Frage	Mathematik
In welcher Höhe wird der Ball abgeworfen?	Schnittpunkt mit der y-Achse, y-Achsenabschnitt x = 0
Wie hoch fliegt der Ball maximal?	Scheitelpunkt S (d|e)
Wie weit fliegt der Ball?	Nullstelle y = 0

||

Die Flugkurven haben alle eine Gemeinsamkeit. Ihre Form nennt man Parabel. Sie sind die Graphen/Schaubilder quadratischer Funktionen.

(auch als kahoot!)

Übung 1 (HA)

Suche parabelförmige Bögen in deiner Umgebung. Fotografiere mindestens eine Parabel, notiere, wo du sie entdeckt hast und wie sie aussieht (z.B. breit, schmal, nach oben oder nach unten geöffnet). Lade das Foto im Gruppenordner Mathematik hoch.

Übung 2 Parabel und Gleichung

• Skizziere die Flugkuren/Bögen aus den Applets in dein Heft.
• Notiere die passende Funktionsgleichung.
• Notiere Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Flugkurven und Funktionsgleichungen.

Beispiel 1:
Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [1]

Applet von C. Buß-Haskert

Beispiel 2:
Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [2]

Applet von C. Buß-Haskert

Beispiel 3:
Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [3]

Applet von C. Buß-Haskert

Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird): [4]

Applet von Bobby Knurek

Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird):[5] br>

Applet von Luc Morth

Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird):[6]

Applet von G.von Lechberg

Ergebnis: Quadratische Funktionen

Die Funktionsgleichungen quadratischer Funktionen haben immer die Form

f(x) = a(x+d)² + e (Scheitelpunktform) bzw. f(x) = ax² + bx + c (allgemeine Form).

Nun gilt es, die Bedeutung der Parameter a, d und e bzw. b und c zu erarbeiten!
Dazu beginnen wir mit der einfachsten Form der quadratischen Funktion, nämlich für a=1; d=0 und e=0 bzw. b=0 und c=0.
Diese Gleichung lautet f(x) = x².

2 Die Normalparabel

Die Normalparabel

Die einfachste Form der quadratischen Funktionen lautet f(x) = x².
Der Graph der quadratischen Funktion f(x) = x² heißt Normalparabel.
Erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Normalparabel in dein Heft.

x	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2
f(x)=x²	4	...	...	...	...	...	...

Beschreibe die Parabel:

• Wie verläuft der Graph im Koordinatensystem?
• Wie ist die Lage des Graphen im Koordiantensystem?
• Welche Form hat der Graph?

Erinnerung: (-2)² = (-2)·(-2) = +4
(Falls du später den Taschenrechner benutzt, denke an die Klammer, falls die Zahl ein Minuszeichen als Vorzeichen hat.)

Fülle den Lückentext aus.

Vergleiche deine Lösung:

Übung 3:Punkte auf der Normalparabel

Du hast eine Wertetabelle für die Normalparabel erstellt und diese gezeichnet. Prüfe nun zeichnerisch und rechnerisch, welche Punkte auf der Normalparabel liegen bzw. bestimme die fehlende Koordinate.

• S. 11 Nr. 6 (Tipps unten!, Beispiel)
• S. 11 Nr. 5
• S. 11 Nr. 7

Du kannst mithilfe des Schaubildes (Normalparabel) entscheiden, welche Punkte auf der Normalparabel liegen und welche nicht:

Wie kannst du rechnerisch prüfen, ob ein Punkt auf der Normalparabel liegt oder nicht?

Liegt ein Punkt auf der Parabel? - Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf der Parabel liegt, setze in die Funktionsgleichung die Werte der Koordinaten für x und y ein.

Ergibt sich eine wahre Aussage (w), liegt der Punkt auf der Parabel, entsteht eine falsche Aussage (f), so liegt der Punkt nicht auf der Parabel.

Beispiel:
Liegt der Punkt I(2,5|6,25) auf der Normalparabel?
f(x) = x²
6,25 = 2,5²
6,25 = 6,25 (w), also liegt der Punkt I auf der Normalparabel.

Liegt der Punkt H(-1,5|-2,25) auf der Normalparabel?
f(x) = x²
-2,25 = (-1,5)²
-2,25 = 2,25 (f), also liegt der Punkt H nicht auf der Normalparabel.

Fehlende Koordinate bestimmen

Um eine fehlende Koordinate zu bestimmen, setze die gegebene Koordinate passend in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach der fehlenden Koordinate auf.

Beispiel:

Bestimme die fehlende Koordinate von P(6|__) auf der Normalparabel.

f(x) = x²
y = 6²
y = 36, also P(6|36)

Bestimme die fehlende Koordinate von Q(__|1,69) auf der Normalparabel.

f(x) = x²
1,69 = x²   |$\surd$
$\pm \sqrt{1,69}$ = x
1,3 = x₁; -1,3 = x₂, also lautet Q₁(1,3|1,69) und Q₂(-1,3|1,69).
Es gibt zwei Punkte, die den y-Wert 1,69 haben, denn die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse.

3 Die gestreckte und gestauchte Parabel: Bedeutung des Parameters a in f(x) = ax²

Link zum Applet (falls es nicht vollständig dargestellt wird):[7]

Applet von G.von Lechberg

f(x) = ax² Bedeutung des Parameters a

Untersuche die Bedeutung des Parameters a in der Gleichung f(x) = ax² mithilfe der Geometriesoftware GeoGebra.

• Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = x² ein. Es wird die Normalparabel gezeichnet.
• Erstelle einen Schieberegler a mit der Schrittweite 0,1.
• Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = ax² ein. Verändere den Wert von a mithilfe des Schiebereglers.
• Wie verändert sich die Parabel? Notiere deine Beobachtungen.

Wie erstelle ich einen Schieberegler für die Funktionsgleichung f(x) = ax²?
Gehe vor, wie in den Bildern beschrieben:

f(x) = ax² Bedeutung des Parameters a

Erstelle nun eine Wertetabelle zu den verschiedenen Funktionsgleichungen und zeichne die Parabeln in ein Koordinatenkreuz in dein Heft. Notiere die Bedeutung des Parameters a für den Verlauf der Parabel.

x	-2	-1	-0,5	0	0,5	1	2	Öffnung	Form
f(x) = x²	4	1	0,25	0	...	...	...	nach oben	Normalparabel
f(x) = 2x²	8	2	0,5	0	...	...	...	nach oben	gestreckt
f(x) = $\tfrac{1}{2}$x²	2	0,5	...	...	...	...	...	...	gestaucht
f(x) = -x²	-4	...	...	...	...	...	...	...	...
f(x) = -2x²	-8	...	...	...	...	...	...	...	...
f(x) = -$\tfrac{1}{2}$x²	-2	...	...	...	...	...	...	...	...

Verwende verschiedene Farben.

Vergleiche deine Lösungen

Die Parameter sportlich erarbeiten

Bearbeite im Lernpfad das Kapitel zu anton.

Quadratische Funktion der Form f(x) = ax²

Der Graph einer quadratischen Funktion der Form f(x) = ax² ist eine Parabel mit folgenden Eigenschaften:

• Symmetrie: Die Parabel ist symmetrisch zur y-Achse
• Scheitelpunkt: Der Scheitelpunkt (höchster bzw. tiefster Punkt) liegt im Ursprung S(0|0).
• Öffnung: Das Vorzeichen von a bestimmt die Öffnung der Parabel: Für a>0 (a positiv) ist die Parabel nach oben geöffnet, für a<0 (a negativ) ist sie nach unten geöffnet.
• Form: Die Parabel ist gestaucht (breiter) für 0 < |a| < 1 (also für Werte von a zwischen -1 und 1). Sie ist gestreckt (schmaler) für |a| > 1 (also für Werte von a > 1 bzw. a < -1).

Zusammenfassung:

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Übung 4: Den Faktor a der Funktionsgleichung bestimmen

a) Gegeben ist die Funktionsgleichung f(x) = ax² und ein Punkt P(2|-8).
Bestimme den Faktor a und beschreibe die Parabel.
b) Löse aus dem Buch

• S. 14 Nr. 11
• S. 14 Nr. 12

Lösung:
geg: f(x) = ax²; P(2|-8)
ges: a

Setze die Koordinaten des Punktes P in die Funktionsgleichung ein und löse die Gleichung nach a auf.

f(x) = ax²;P(2|-8)
-8 = a·2²
-8 = a·4  |:4
-2 = a
also f(x) = -2x².
Form: Die Parabel zur Funktionsgleichung f(x) = -2x² ist eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel. Der Scheitelpunkt liegt im Ursprung S(0|0).

Datei:Modellieren.png

Modellieren - Golden Gate Bridge

Die Seile von Hängeseilbrücken verlaufen parabelförmig.
Die Spannweite zwischen den Brückenpfeilern der Golden Gate Bridge beträgt 1280m, die Höhe der Pfeiler über der Straße 144m. In jeweils 20 m Abstand verbinden Lastkabel das Halteseil mit der Straße. Notiere gemeinsam mit deinem Partner/deiner Partnerin Fragen zu dieser Brücke und beantworte sie mithilfe einer Rechnung.

Künstler: Daniel L. Lu

Von Roulex 45 - Eigenes Werk, CC BY-SA 3.0,

Mögliche Fragen:
- Wie lautet die Funktionsgleichung für das Halteseil? Zeichne das Koordinatensystem passend für die Funktionsgleichung der Form f(x) = ax² ein.
Wie lang ist längste das Lastkabel zwischen Halteseil und Straße?
Wie lang sind alle Lastkabel der Brücke insgesamt?

...

Realität: Halteseil der Brücke.
Mathematisches Modell: Parabel, quadratische Funktion
Rechnen: Lege das Koordinatenkreuz so, dass der Scheitelpunkt im Ursprung liegt. Damit hat die Funktionsgleichung die Form f(x) = ax².
Du kennst die Punkte A(-640|144) und B(640|144). Setze diese in die Gleichung ein und löse nach a auf.
Für die Lastseile kennst du die x-Koordinate, z.B. x = -600. Bestimme die zugehörige y-Koordinate, dies ist die Länge des Seils.

Antwort: Beziehe deine Ergebnisse auf die Fragestellung: Die zugehörige y-Koordinate ist dann z.B. die Länge des Lastseils.

Übung 5: Modellieren (Brückenaufgaben)

Löse aus dem Buch

• S. 24 Nr. 1
• S. 24 Nr. 2
• S. 24 Nr. 3

Quelle: wikipedia.org

Tipp: Skizze!

Zeichne das Koordinatensystem so ein, dass der Scheitelpunkt S im Ursprung liegt. Dann kannst du die Funktionsgleichung der Form f(x) = ax² nutzen.
Beschrifte die Skizze mit den gegebenen Größen.

Kennst du einen Punkt auf der Parabel? Setze ein und löse nach a auf.

Koordinatenkreuz passend eingetragen:

Die Spannweite w=486m und die Höhe h=88m führt zu den Punkten P(243|88) und Q(-243|88). Setze die Koordinaten passend in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ein und löse nach a auf.

Lösung: a=$\tfrac{88}{243^2}$ ≈ 0,0015.

{{{1}}}

Es können die Punkte P(-23,5|-6,6), Q(-17|-6,5), R(-10,5|-1,3) und S(0|0) abgelesen werden. Die Koordinaten von P eingesetzt in die Funktionsgleichung f(x) = ax² ergeben für a den Wert a=$\tfrac{(-6,5)}{(-23,5)^2}$≈-0,012.
Bestimme a mithilfe des Punktes Q: a=$\tfrac{(-3,5)}{(-17)^2}$≈-0,012.
Bestimme a mithilfe des Punktes R: a=$\tfrac{(-10,5)}{(-1,3)^2}$≈-0,012.

Die Werte von a stimmen (annähernd) überein, daher passt der Brückenbogen zur Funktiongsgleichung f(x) = -0,012x².

Zeichne eine Skizze passend zur Aufgabe. Wie ist die Form der Parabel? Kennst du schon einen Punkt auf der Parabel?

Die Spannweite beträgt w=158m, die Höhe h=69m. Daher kennst du die Punkte P(-79|-69) und Q(79|-69)
Setze die Koordianten in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob du a=-$\tfrac{1}{90}$ erhältst.
ODER
Setze die x-Koordiante eines Punktes in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob die berechnete y-Koordinate passt.

Lösung: Die Daten passen zusammen.

4 Die verschobene Parabel: Bedeutung des Parameters c in f(x) = ax² + c

f(x) = ax² + c Bedeutung des Parameters c

Untersuche die Bedeutung des Parameters c in der Gleichung f(x) = ax² + c mithilfe der Geometriesoftware GeoGebra.

• Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = x² ein. Es wird die Normalparabel gezeichnet.
• Erstelle einen Schieberegler a.
• Erstelle einen Schieberegler c.
• Gib im Algebrafenster die Gleichung f(x) = ax² + c ein. Verändere den Wert von c mithilfe des Schiebereglers. (Die Bedeutung des Parameters a hast du schon erarbeitet.)
• Wie verändert sich die Parabel? Notiere deine Beobachtungen.

Link zu GeoGebra

Falls du die Schieberegler nicht erstellen kannst, nutze das nachfolgende Applet.

Arbeitsmethode

Der Graph der Funktion f(x) = ax² + c ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt S(0|c). Der Faktor a bestimmt die Öffnung und Form der Parabel, der Summand c verschiebt den Scheitelpunkt entlang der y-Achse.

Übung 6

Löse die Aufgaben aus dem Buch

• S. 13 Nr. 8
• S. 14 Nr. 10
• S. 14 Nr. 13
• S. 14 Nr. 14
• S. 14 Nr. 16 (Kontrolliere mit GeoGebra)

"Punktprobe"!

Setze die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichungen ein und prüfe, ob eine wahre (w) Aussage oder falsche (f) Aussage entsteht. Demnach liegt der Punkt auf der Parabel bzw. nicht auf der Parabel.

5 Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

Die Parameter sportlich erarbeiten

Bearbeite im Lernpfad das Kapitel zu detlef und emil.

Die Scheitelpunktform entdecken

Experimentiere mit der Normalparabel f(x) = x². Verschiebe den Scheitelpunkt S im Koordinatensystem und beobachte die Auswirkung auf die Funktionsgleichung. Was fällt dir auf? Diskutiere mit deinem Partner/deiner Partnerin.

Die Scheitelpunktform quadratischer Funktionen

Die quadratische Funktion der Form f(x) = (x+d)²+e heißt Scheitelpunktform. Ihr Graph ist eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(-d|e).

Der Parameter d verschiebt den Scheitelpunkt in x-Richtung: d>0 nach links verschoben ("dusseliger Detelf") und d<0 nach rechts.
Der Parameter e verschiebt den Scheitelpunkt in y-Richtung (nach oben bzw. unten).

Übung 6 - Verschobene Normalparabel

Bearbeite die nachfolgenden Übungen auf der Seite realmath so lange, bis du jeweils mindestens 200 Punkte gesammelt hast. Erkläre deinem Partner/deiner Partnerin, was in dieser Übung jeweils gefestigt werden soll. Notiere zu jeder Aufgabe ein Beispiel mit deinem erworbenen Wissen in dein Heft.

• Aufgabe 1
• Aufgabe 2
• Aufgabe 3
• Aufgabe 4
• Aufgabe 5
• Aufgabe 6
• Aufgabe 7

Verschobene Normalparabeln skizzieren/zeichnen ohne Schablone und ohne Wertetabelle:

Um eine verschobene Normalparabel zu zeichnen, gehe vom Scheitelpunkt S aus immer eine Längeneinheit nach rechts und 1 Längeneinheit nach oben und dann 2 LE nach rechts und 4 LE nach oben. Das Video erklärt dies noch einmal anschaulich.

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Übung 7

Nachdem du die Aufgaben auf der Seite realmath erfolgreich gelöst und diskutiert hast, sollten die nachfolgenden Aufgaben aus dem Buch kein Problem mehr für dich sein.

• S.16 Nr. 1
• S.16 Nr. 2
• S.16 Nr. 3
• S.16 Nr. 4
• S.16 Nr. 5
• S.16 Nr. 8
• S.16 Nr. 9
• S.16 Nr. 10 (Nutze in GeoGebra die Funktion "Spiegle an Gerade", s.Tipp unten)

Expertenaufgabe (Ergänzung zu Nr. 10): Spiegle die Parabeln auch an der x-Achse und gib die neue Funktionsgleichung an.

Nutze zur Lösungskontrolle das obige Applet. Schiebe den Scheitelpunkt S an den von dir angegebenen Punkt und schau, ob die Funktionsgleichung mit der im Buch angegebenen übereinstimmt.

Nutze auch hier zur Lösungskontrolle das obige Applet. Verschiebe den Scheitelpunkt auf den im Buch angegeben Punkt und vergleiche die Funktionsgleichung mit deiner Lösung.

Schau das Video oben noch einmal an und skizziere die verschobene Normalparabel vom Scheitelpunkt aus entsprechend.

Erinnerung Quadraten:

Künstler: W!B:

Nutze das Applet oben: Verschiebe den Scheitelpunkt so, dass der Graph durch die angegebene Punkte verläuft. Wo liegt dann der Scheitelpunkt? Begründe!

Skizzen zu 8a, 8b:

Nutze das obige Applet und verschiebe den Scheitelpunkt entsprechend der Angaben in der Aufgabe. Prüfe so deine Lösung.

Bilderfolge zum Spiegeln der verschobenen Normalparabel an der y-Achse:

Übung 8 - Punktprobe

Prüfe zeichnerisch (GeoGebra) und rechnerisch (Punktprobe), ob der Punkt P auf der Parabel liegt.

• S. 16 Nr. 6

5

IDEENSAMMLUNG Modellieren Aufgabe Basektball (mit Lösungsschritten