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partielle Integration

Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.

Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:$\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$

Dabei ist $\int f'(x)*g(x)\,dx$ das ursprüngliche Integral.

$f'(x)$ ist die leicht zu integrierende Funktion.

$g(x)$ ist die leicht abzuleitende Funktion.

Falls du eine ausführliche Erklärung mit einem Beispiel benötigst,klicke hier.

Beispiel zur partielle Integration :$h(x) = e^x * x$

$e^x$ lässt sich leicht integrieren. Also $f(x)=e^x$ und $f'(x)=e^x$

$x$ lässt sich leicht ableiten. Also $g(x)=x$ und $g'(x)=1$

Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: $\int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx$ $\int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1)$

Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von $h(x) = e^x * x$ lautet somit:$H(x) = e^x * (x-1)$

Integration durch Substitution

Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:$\int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx$

Vorgehen:

1. Zunächst wird die innere Funktion $g(x)$ dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also $z = g(x)$
2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also $z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx$
3. und dann nach dx umgeformt: $dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)}$
4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung $g(x)$ angepasst werden: $a \longrightarrow g(a)$ neue untere Grenze $b \longrightarrow g(b)$ neue obere Grenze
5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion $g(x)$ eingesetzt.

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Beispiel für Integration durch Substituion

Die zu integrierende Funktion lautet: $h(x)=e^{2x}$

Zu bestimmen: $H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx$

1. Die innere Funktion ist $g(x) = 2x = z$
2. Ableitung der Funktion: $g'(x)=2 *dx=dz$
3. Umformen nach dx: $2*dx= dz \Longrightarrow dx = \frac{dz}{2}$
4. Anpassung der alten Grenzen $a \longrightarrow g(a)$ $b \longrightarrow g(b)$
5. Einsetzen in das Integral: $\int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, \frac{dz}{2} = \frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz$
6. Integration: $\frac{1}{2} * \int_{g(a)}^{g(b)} e^z\, dz = \frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)}$
7. Die Funktion $g(x)$ für die Variable $z$ ersetzen: $\frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [ e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)}$

Sie integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von $h(x)=e^{2x}$ lautet: $H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x}$

Aufgaben

Übung 1

Wie lautet die Stammfunktion dieser Funktionen?

a) $f(x) = x*sin(2x)$

Nutze die partielle Integration

Setze die leicht abzuleitende Funktion $g(x)=x$ und die leicht zu integrierende Funktion $f'(x)=sin(2x)$

$F(x)= \frac{sin(2x)}{4} - \frac{x*cos(2x)}{2} + C$

b) $f(x)=x*e^{x^2}$

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion $g(x)=x^2 = z$ und leite sie nach x ab

$\int x*e^z\, \frac{dz}{2x} = \int \frac{e^z}{2}\, dz = \frac{1}{2} \int e^z\, dz$

$F(x)= \frac{e^{x^2}}{2} + C$

c) $f(x)= \frac{e^x}{a-e^x}$

Nutze die Integration durch Substitution

Setze die innerer Funktion $g(x)= a-e^x = z$ und leite sie nach x ab

$F(x)= - ln(|a-e^x|) + C$

Textaufgabe: Zahn-Logo für eine Praxis

In einer Zahnarztpraxis soll ein neues Logo entworfen werden. Dazu wurde die nebenstehende Zeichnung angefertigt, welche durch die Funktionen $f(x)=- \frac{x}{2} + 2$ und $g(x)= x^4- \frac{15}{4} * x^2 - 1$ das Zahnlogo bildet. Dabei entspricht eine Längeneinheit in dem Graphen 1 cm. Nun soll dieses Logo mit einer Dicke von 1 mm aus Silber ($1 cm^2$ Silber wiegt 10,5 g) produziert werden. Wie schwer wird das Logo dann werden?

Zuerst muss die Fläche des Logos berechnet werden. Dazu wird dieses Integral genötigt: $\int_{-2}^2 f(x) + g(x)\, dx$

Hast du daran gedacht, alle Einheiten einheitlich anzupassen? Die Dicke von 1 mm muss auf jeden Fall noch in cm umgerechnet werden.

Wenn du die Fläche des Logos $A_{Logo}$ wie in Tipp 1 berechnet hast, kannst du das $V_{Logo}$ nun durch das Produkt von $A_{Logo}$ und der Dicke (beachte Tipp 2!) berechnen

$A_{Logo} = 3,2 cm^2$

$V_{Logo}= A_{Logo} * Dicke_{Logo} = 3,2 {cm}^2 * 0,1 cm = 0,32 {cm}^3$

$V_{Logo}*Gewicht_{Silber}= 0,32 [{cm}^3] * 10,5 [g] = 3,36 [g]$

Das fertige Logo aus Silber wiegt 3,36 g.

Spielwiese

Schreiben im Wiki

Neben normalem Text kann man auch kursiven oder fett gedruckten Text schreiben. Ebenso ist eine Kombination aus beidem möglich. Grüner Text ist schon etwas schwieriger und funktioniert über die Quelltextbearbeitung.

Vorlagen

Ganz einfach per Mausklick aktivierbar

Aufgabe

Inhalt

Übung

Inhalt

Merksatz

Inhalt

Dateien

Bild aus ZUM Projekte:

Bild aus Wikipedia:

allgemeines Dreieck

Kombinationen

Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

(Inhalte aus dem Lernpfad Quadratische Funktionen erkunden)

Merke

Terme quadratischer Funktionen können in der Form $y=a(x-d)^2+e$ angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man Scheitelpunktform, da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten $S(d/e)$.

Der Parameter "$a$"

Was passiert, wenn man statt der Funktion $y=x^2$ folgende Funktionen gegeben hat:

(1) $y=2x^2$,          (2) $y=\frac{1}{2}x^2$     und     (3) $y=-x^2$ ?

a) Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von $y=x^2$ vergleichen.

b) Überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a) mit dem folgenden Geogebra-Applet. Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?

In dem Applet ist die Normalparabel $f(x)=x^2$ grau eingezeichnet. Du kannst verschiedene Werte für "$a=$" eingeben. Dadurch wird der grüne Graph $g(x)=a \cdot x^2$ verändert.

Aufgabe 2

a) Beantworte die Fragen bitte selbstständig. Es ist jeweils genau eine Antwort richtig.

Aufgabe 3

Finde Werte für a, d und e, so dass $f(x)$ die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

Hintergrundbild	Lösungsvorschlag	Parameter a	Parameter d	Parameter e
Angry Birds	$f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85$	-0.15 ≤ a ≤ -0.13	6.80 ≤ d ≤ 7.20	4.70 ≤ e ≤ 5.00
Golden Gate Bridge	$f(x)=0.04(x-5.7)^2+1$	0.03 ≤ a ≤ 0.05	5.00 ≤ d ≤ 6.40	0.80 ≤ e ≤ 1.10
Springbrunnen	$f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3$	-0.40 ≤ a ≤ -0.30	4.70 ≤ d ≤ 5.00	5.10 ≤ e ≤ 5.50
Elbphilharmonie (Bogen links)	$f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35$	0.33 ≤ a ≤ 0.47	2.40 ≤ d ≤ 2.60	4.25 ≤ e ≤ 4.40
Elbphilharmonie (Bogen mitte)	$f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4$	0.30 ≤ a ≤ 0.36	5.70 ≤ d ≤ 6.00	3.20 ≤ e ≤ 3.60
Elbphilharmonie (Bogen rechts)	$f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60$	0.18 ≤ a ≤ 0.27	9.30 ≤ d ≤ 9.50	3.55 ≤ e ≤ 3.65
Gebirgsformation	$f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3$	-0.30 ≤ a ≤ -0.10	5.10 ≤ d ≤ 5.70	2.10 ≤ e ≤ 2.50
Motorrad-Stunt	$f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95$	-0.10 ≤ a ≤ -0.04	7.30 ≤ d ≤ 8.10	5.70 ≤ e ≤ 6.20
Basketball	$f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45$	-0.35 ≤ a ≤ -0.29	6.20 ≤ d ≤ 6.80	6.20 ≤ e ≤ 6.70

Interaktive Applets

LearningApp:

Geogebra-Applet: