Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Box|partielle Integration|Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. | {{Box|partielle Integration|Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so: | ||
Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so: | |||
<math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> | <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> | ||
Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral. | Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral. | ||
<span style="Color: green"> <math> f'(x) </math> ist die leicht zu integrierende Funktion. </span> | <span style="Color: green"> <math> f'(x) </math> ist die leicht zu integrierende Funktion. </span> | ||
<span style="Color: Purple"> <math> g(x) </math> ist die leicht abzuleitende Funktion.</span>|}} | <span style="Color: Purple"> <math> g(x) </math> ist die leicht abzuleitende Funktion.</span>|}} | ||
{{Box|Beispiel für partielle Integration|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math><span style="color: green"> | {{Box|Beispiel für partielle Integration|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math><span style="color: green"> | ||
<math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple"> | <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple"> | ||
<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> | <math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> | ||
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> | Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> | ||
<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math> | <math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math> | ||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|}} | Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|}} | ||
{{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math>|}} | {{Box|Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math> | ||
'''Vorgehen:''' | |||
#Zunächst wird die innere Funktion <math> g(x) </math> dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also <math> z = g(x) </math> | |||
#Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also <math> z = g(x) \Longrightarrow dz = g'(x) dx </math> | |||
#und dann nach dx umgeformt: <math> dz = g'(x) dx \Longrightarrow dx = \frac{dz}{g'(x)} </math> | |||
#Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung <math> g(x) </math> angepasst werden: <math> a \longrightarrow g(a) </math> neue untere Grenze <math> b \longrightarrow g(b) </math> neue obere Grenze | |||
#Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt. | |||
#Nun folgt das normale Integrationsverfahren. | |||
#Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion <math> g(x) </math> eingesetzt.|}} | |||
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#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [ e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math> | #Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [ e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [ e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math> | ||
Sie integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | Sie integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}} | ||
Version vom 8. April 2020, 17:03 Uhr
