Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|partielle Integration|Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:<math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>  
{{Box|partielle Integration|Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist.  
 
Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:<math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>  


Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral.
Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral.
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{{Box|Beispiel für partielle Integration|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math><span style="color: green">  
{{Box|Beispiel für partielle Integration|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math><span style="color: green">  
<math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren.  Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple">|}}


<math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple">


<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math>  
<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math>  
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>  
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>  
<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math>  
<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math>  
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|}}




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{{Box|Beispiel für Integration durch Substituion|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math>
{{Box|Beispiel für Integration durch Substituion|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math>
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math>
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math>
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>
#Die innere Funktion ist <math> g(x) = 2x = z </math>
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#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [  e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>
#Die Funktion <math> g(x) </math> für die Variable <math> z </math> ersetzen: <math> \frac{1}{2} \left [  e^z\right ]^{g(b)}_{g(a)} = \frac{1}{2} \left [  e^{2x}\right ]^{g(b)}_{g(a)} </math>


Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet:
Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math> h(x)=e^{2x} </math> lautet: <math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}}  
<math> H(x) = \frac{1}{2} * e^{2x} </math>|}}  


====Vorgehen====
====Vorgehen====

Version vom 8. April 2020, 16:56 Uhr

partielle Integration


Beispiel für partielle Integration


Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:


Beispiel für Integration durch Substituion

Die zu integrierende Funktion lautet:

Zu bestimmen:

  1. Die innere Funktion ist
  2. Ableitung der Funktion:
  3. Umformen nach dx:
  4. Anpassung der alten Grenzen
  5. Einsetzen in das Integral:
  6. Integration:
  7. Die Funktion für die Variable ersetzen:
Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet:

Vorgehen

  1. Zunächst wird die innere Funktion dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also
  2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also
  3. und dann nach dx umgeformt:
  4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung angepasst werden: neue untere Grenze neue obere Grenze
  5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
  6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
  7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion eingesetzt.

Beispiel

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