Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Box|partielle Integration|Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:<math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>
{{Box|partielle Integration|Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:<math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math>  


Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral.
Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral.
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{{Lösung versteckt|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math> <span style="color: green"> <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple"> <math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> </span>Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> <math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math> Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>|Beispiel zur partiellen Integration|Beispiel verbergen}}
{{Lösung versteckt|Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math><span style="color: green"> <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und  <math> f'(x)=e^x </math> </span> <span style="color: Purple">|Beispiel zur partiellen Integration|Beispiel verbergen}}




<math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> <math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math> Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von  <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit:<math> H(x) = e^x * (x-1) </math>




{{Box| Integration durch Substitution|Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math>|}}




{{Box| Integration durch Substitution| …| Kurzinfo}}
{{Lösung versteckt|Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math>|Beispiel zur Integration durch Substitution| Beispiel verbergen}}
 
Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:  
 
<math> \int_a^b f(g(x))*g'(x)\, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(z)\, dx </math>


====Vorgehen====
====Vorgehen====
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====Beispiel====
====Beispiel====
Die zu integrierende Funktion lautet: <math> h(x)=e^{2x} </math>
 
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math>
Zu bestimmen: <math> H(x) = \int_a^b e^{2x}\, dx </math>


Version vom 8. April 2020, 16:46 Uhr

partielle Integration
Beispiel zur partiellen Integration


 lässt sich leicht ableiten. Also  und  Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden:   Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von   lautet somit:


Integration durch Substitution
Die Integration durch Substitution ist eine weitere Methode der Integration, welche auf der Kettenregel beruht. Dabei muss eine Verknüpfung zweier Funktionen innerhalb dieses Integrals vorhanden sein. Allgemein wird ihre Formel folgendermaßen definiert:


Die zu integrierende Funktion lautet:

Vorgehen

  1. Zunächst wird die innere Funktion dieser verknüpften Funktion durch eine Variable z ersetzt. Also
  2. Die Gleichung wird nach x abgeleitet. Also
  3. und dann nach dx umgeformt:
  4. Falls im Integral die Grenzen a und b angegeben wurden, müssen diese durch Einsetzen in die Gleichung angepasst werden: neue untere Grenze neue obere Grenze
  5. Die nach dx umgeformte Gleichung und die neuen Grenzen werden nun in das Integral eingesetzt.
  6. Nun folgt das normale Integrationsverfahren.
  7. Resubstitution: Zuletzt wird für z wieder die Funktion eingesetzt.

Beispiel

Zu bestimmen:

  1. Die innere Funktion ist
  2. Ableitung der Funktion:
  3. Umformen nach dx:
  4. Anpassung der alten Grenzen
  5. Einsetzen in das Integral:
  6. Integration:
  7. Die Funktion für die Variable ersetzen:

Siw integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet:

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