Benutzer:Klara WWU-6/Von der Randfunktion zur Integralfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so: | Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so: | ||
Dabei ist | <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> | ||
Dabei ist <math> \int f'(x)*g(x)\,dx </math> das ursprüngliche Integral. | |||
<span style="Color: green"> <math> f'(x) </math> ist die leicht zu integrierende Funktion. </span> | <span style="Color: green"> <math> f'(x) </math> ist die leicht zu integrierende Funktion. </span> | ||
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===Beispiel=== | ===Beispiel=== | ||
<math>h(x) = e^x * x</math> | Die Beispiel-Funktion lautet: <math>h(x) = e^x * x</math> | ||
<span style="color: green"> <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und <math> f'(x)=e^x </math> </span> | <span style="color: green"> <math> e^x </math> lässt sich leicht integrieren. Also <math> f(x)=e^x </math> und <math> f'(x)=e^x </math> </span> | ||
<span style="color: Purple">x lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> </span> | <span style="color: Purple"> <math> x </math> lässt sich leicht ableiten. Also <math> g(x)=x </math> und <math> g'(x)=1 </math> </span> | ||
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: | Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden: | ||
<math> f'(x)*g(x) dx = | <math> \int f'(x)*g(x)\,dx = [f(x) * g(x)] - \int f(x)*g'(x)\,dx </math> | ||
<math> \int e^x*x\,dx = [e^x * x] - \int e^x*1\,dx = [e^x * x] - [e^x] = e^x * (x-1) </math> | |||
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von <math>h(x) = e^x * x</math> lautet somit: | |||
<math> H(x) = e^x * (x-1) </math> | |||
Version vom 7. April 2020, 13:11 Uhr
Die partielle Integration ist eine Methode, die die Integration von Produkten zweier Funktionen ermöglicht. Sie beruht auf der Produktregel und wird daher auch Produktintegration genannt. Dabei ist es von Vorteil, wenn die eine Funktion leicht abzuleiten und die andere leicht zu integrieren ist. Allgemein definiert man die Formel der partiellen Integration so:
Dabei ist das ursprüngliche Integral.
ist die leicht zu integrierende Funktion.
ist die leicht abzuleitende Funktion.
Beispiel
Die Beispiel-Funktion lautet:
lässt sich leicht integrieren. Also und
lässt sich leicht ableiten. Also und
Nun müssen unsere Funktionen und deren Ableitungen in die oben genannte Formel eingesetzt werden:
Die integrierte Funktion bzw. Stammfunktion von lautet somit:
