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Spielwiese

Schreiben im Wiki

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Kombinationen

Merke

Bei linearen Funktionen der Form $y=mx+n$ gibt $n$ den Y-Achsenabschnitt des Graphen an.

Arbeitsmethode

Bestimme die y-Achsenabschnitte folgender Funktionen:

(1) $y=2x+5$,          (2) $y=\frac{2}{3}x-1$      und     (3) $y=3$ ?

Lösungsvorschläge anzeigen

(1) $5$,          (2) $-1$      und     (3) $3$

Test für unseren Lernpfad

Den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen

Das Steigungsdreieck

Die Steigung einer linearen Funktion bestimmt man in der Regel mit folgenden Schritten:

1. Zunächst benötigt man zwei beliebige Punkte $P(x_P|y_P)$ und $Q(x_Q|y_Q)$.
2. Um den Höhenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P$
3. Um den Längenunterschied der Punkte zu bestimmen, benötigt man die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$.
   $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P$
4. Für die Steigung $m$ der Geraden gilt:
   $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$

Aufgabe 4: Eine Geradengleichung mithilfe von zwei Punkten bestimmen

Gegeben seien stets zwei Punkte, durch die eine Gerade verläuft. Bestimme in deinem Heft die jeweiligen Gleichungen der Geraden in der Form $f(x) = mx + n$.

Tipp: Allgemeines Vorgehen

1. Berechne zunächst die Steigung $m$, indem du wie im Merkkasten zum Steigungsdreieck vorgehst.
2. Berechne anschließend den y-Achsenabschnitt $n$, indem du die Steigung und einen der beiden Punkte in die Geradengleichung der Form $f(x) = mx + n$ einsetzt.

Tipp: Alternative Vorgehen

Du kannst die Geradengleichung auch auf anderen Wegen erhalten:

• Lösung mit Hilfe eines linearen Gleichungssystems:
  • Stelle zwei Gleichungen mit jeweils den Unbekannten $m$ und $n$ auf, indem du die x-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $x$ und die y-Koordinaten der Punkte $P$ und $Q$ für $f(x)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ einsetzt.
  • Beide Gleichungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, welches du zum Beispiel mit Hilfe des Eliminationsverfahres lösen kannst, um die beiden Unbekannten $m$ und $n$ zu bestimmen.
  • Die bestimmten Unbekannten setzt du anschließend in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.
• Lösung mit Hilfe eines Graphen:
  • Zeichne die Punkte $P$ und $Q$ in ein Koordinatensystem ein.
  • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte $P$ und $Q$ verläuft.
  • Bestimme mit Hilfe des Steigungsdreiecks die Steigung $m$.
  • Lies den y-Achsenabschnitt $n$ am Graphen ab.
  • Setze alles in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

a) Gegeben seien die Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$.

Lösung

Funktionsgleichung: $f(x) = 2x$
Lösungsweg nach dem allgemeinen Verfahren:

• Für den Höhenunterschied der Punkte musst du die y-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $H\ddot{o}henunterschied = y_Q - y_P = 6 - 2 = 4$
• Für den Längenunterschied der Punkte musst du die x-Koordinaten der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ wie folgt berechnen:
  $L\ddot{a}ngenunterschied = x_Q - x_P = 3 - 1 = 2$
• Für die Steigung $m$ der Geraden musst du beide Werte in die folgende Gleichung einsetzen:
  $m = \frac{H\ddot{o}henunterschied}{L\ddot{a}ngenunterschied} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$
• Um den y-Achsenabschnitt zu berechen, setzt du die Steigung $m = 2$ und einen der Punkte in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein:
  • Falls du als Punkt $P$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 2 = 2 \cdot 1 + n \Leftrightarrow 2 = 2 + n \Leftrightarrow 0 = n$
  • Falls du als Punkt $Q$ gewählt hast, erhälst du also $f(x) = mx + n \Leftrightarrow 6 = 2 \cdot 3 + n \Leftrightarrow 6 = 6 + n \Leftrightarrow 0 = n$
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch die Nutzung eines LGS:

• Die beiden Gleichungen, die sich durch das Einsetzen der Punkte $P(1|2)$ und $Q(3|6)$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ergeben sind $2 = m \cdot 1 + n$ und $6 = m \cdot 3 + n$.
• Wenn du die beiden Gleichungen voneinander abziehst, kannst du $n$ eliminieren.
• Nun kannst du eine Gleichung nach $m$ auflösen und erhälst $m = 2$.
• Dies setzt du nun in die andere Gleichung für $m$ ein und erhälst $n = 0$.
• Als letztes setzt du $m = 2$ und $n = 0$ in die Geradengleichung $f(x) = mx + n$ ein.

Lösungsweg durch Nutzung eines Graphen:

Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung $m$ und dann mithilfe eines der beiden Punkte $b$ bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: $m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{6 + 4}{8 - 3} = 2$. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes $P$ oder $Q$ entweder $-4 = 2 \cdot 3 + b$ oder $6 = 2 \cdot 8 + b$. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach $b$ liefert $b = -10$, sodass du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = 2x - 10$ erhältst.

Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte $P$ und $Q$ ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten $m$ und $b$ auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen $-4 = m \cdot 3 + b$ und $6 = m \cdot 8 + b$. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du $b$ eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach $m$ die Unbekannte $m = 2$. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für $m$ ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach $b$ die Unbekannte $b = -10$. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = 2x - 10$.

b) Gegeben seien die Punkte $P(2/1)$ und $Q(6/-5)$.

Lösung

Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung $m$ und dann mithilfe eines der beiden Punkte $b$ bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: $m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{(-3) - 4}{11 - (-7)} = \frac{-7}{18}$. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes $P$ oder $Q$ entweder $4 = \frac{-7}{18} \cdot (-7) + b$ oder $-3 = \frac{-7}{18} \cdot 11 + b$. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach $b$ liefert $b = \frac{23}{18}$, sodass du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}$ erhältst.

Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte $P$ und $Q$ ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten $m$ und $b$ auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen $4 = m \cdot (-7) + b$ und $-3 = m \cdot 11 + b$. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du $b$ eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach $m$ die Unbekannte $m = \frac{-7}{18}$. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für $m$ ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach $b$ die Unbekannte $b = \frac{23}{18}$. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}$.

c) Gegeben seien die Punkte $P(-7/4)$ und $Q(11/-3)$.

Lösung

Wenn du nach der ersten Variante vorgehen möchtest, also erst die Steigung $m$ und dann mithilfe eines der beiden Punkte $b$ bestimmen möchtest, dann ergibt sich zunächst für die Steigung: $m = \frac{f(x)_Q - f(x)_P}{x_Q - x_P} = \frac{(-3) - 4}{11 - (-7)} = \frac{-7}{18}$. Im Anschluss erhältst du durch Einsetzen des Punktes $P$ oder $Q$ entweder $4 = \frac{-7}{18} \cdot (-7) + b$ oder $-3 = \frac{-7}{18} \cdot 11 + b$. Die Auflösung einer der beiden Gleichungen nach $b$ liefert $b = \frac{23}{18}$, sodass du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}$ erhältst.

Wenn du nach der zweiten Variante vorgehen möchtest, stellst du mithilfe der beiden Punkte $P$ und $Q$ ein lineares Gleichungssystem zweier Gleichungen, jeweils mit den beiden Unbekannten $m$ und $b$ auf. Dann erhältst du die beiden Gleichungen $4 = m \cdot (-7) + b$ und $-3 = m \cdot 11 + b$. Ziehe nun die Gleichungen voneinander ab, sodass du $b$ eliminieren kannst. Bestimme nun mithilfe der Auflösung nach $m$ die Unbekannte $m = \frac{-7}{18}$. Setze nun ein eine der beiden Gleichungen dein Ergebnis für $m$ ein und bestimme dann mithilfe der Auflösung nach $b$ die Unbekannte $b = \frac{23}{18}$. Damit erhältst du schließlich die Funktionsgleichung $f(x) = \frac{-7}{18}x + \frac{23}{18}$.

Steigungsdreieck einer linearen Funktion an zwei ausgewählten Punkten