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* bei quadratischen Termen: pq-Formel bzw. Mitternachtsformel
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* Substitution
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Version vom 1. November 2025, 18:14 Uhr

SEITE IM AUFBAU!!

Ganzrationale Funktionen

Vorwissen:

  • Nullstellenberechnung linearer und quadratischer Funktionen
  • Eigenschaften von Potenzfunktionen
  • Transformation

Übungen: S. 41


Ganzrationale Funktionen

Funktionen, die aus Addition und Subtraktion von Potenzfunktionen entstehen, heißen ganzrationale Funktionen. Der Exponent mit der größten Potenz heißt Grad der ganzrationalen Funktion.
Charakteristische Punkte einer ganzrationalen Funktion:

  • Nullstellen (f(x) = 0
  • y-Achsenabschnitt (f(0))
  • Extrempunkte: Hochpunkt und Tiefpunkt

...

Grenzverhalten

Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion
Um das Grenzverhalten für x∞ und x-∞ reicht es, den Term mit dem höchsten Exponenten zu betrachten.
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Übungen Grenzverhalten
Tipps zu einigen Aufgaben aus dem Buch (Lambacher Schweizer, EF, Klett

a) f(x) = (x-2)² Tipp: Klammer auflösen mit 2. binomische Formel
f(x) = x² - 2·x·2 + 2²
f(x) = x² - 4x + 4
Für das Grenzverhalten ist also nur x² (Term mit höchstem Exponenten) verantwortlich.
b) f(x) = -x(x² + 5x) Tipp: Klammern auflösen mit ausmultiplizieren
f(x) = -x³ - 5x²
Für das Grenzverhalten ist also nur -x³ verantwortlich.
c) Tipp: Klammern auflösen mit ausmultiplizieren
d) Tipp: Klammern auflösen mit ausmutplizizieren
f(x) = (x - 5)(12 - x):25
f(x) = (12x - x² - 60 + 5x):25
f(x) = (-x² + 17x - 60):25

Der Ausdruck :25 hat keinen Einfluss auf das Grenzverhalten.

a) Tipp: Klammer auflösen mit ausmultplizieren
b) f(x) = 2(x+3)² Tipp: Klammer auflösen mit 1. binomischer Formel und danach ausmultiplizieren
f(x) = 2(x² + 6x + 9)
f(x) = 2x² + 12x + 18

c) und d) Tipp: ausmutliplizieren

Symmetrie

Symmetrie ganzrationaler Funktionen

Das Symmetrieverhalten hängt ab von den Exponenten der Terme der Funktion.

Arbeite mit dem nachfolgenden Applet. Was fällt dir bei den Funktionsgleichungen auf?

Originallink:https://www.geogebra.org/m/h2qvqhmn

GeoGebra

Applet von M. Tillmann


Symmetrie

Der Graph einer ganzrationalen Funktion verläuft

  • achsensymmetrisch, wenn ...
  • punktsymmmetrisch, wenn ...
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Übungen zur Symmetrie
Tipps zu einigen Aufgaben aus dem Buch.

a) ausmultiplizieren
b) 2. binomische Formel
f(x) = (x-2)² + 1
f(x) = x² - 4x + 4 + 1
f(x) = x² - 4x + 5
c) 3. binomische Formel
f(x) = (x-1)(x-1)
f(x) = x² - 1
d), e) ausmultiplizieren
f) 2. und 1. binomische Formel
f(x) = (2-x)²(2+x)²
f(x) = (4 - 2x + x²)(4 + 2x + x²) ausmultiplizieren

...

...

Nullstellen

Ideen:

  • ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt
  • bei quadratischen Termen: pq-Formel bzw. Mitternachtsformel
  • Substitution
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