Benutzer:Buss-Haskert/Ganzrationale Funktionen

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Ganzrationale Funktionen

Vorwissen:

• Nullstellenberechnung linearer und quadratischer Funktionen
• Eigenschaften von Potenzfunktionen
• Transformation

Übungen: S. 41

Ganzrationale Funktionen

Funktionen, die aus Addition und Subtraktion von Potenzfunktionen entstehen, heißen ganzrationale Funktionen. Der Exponent mit der größten Potenz heißt Grad der ganzrationalen Funktion.
Charakteristische Punkte einer ganzrationalen Funktion:

• Nullstellen (f(x) = 0
• y-Achsenabschnitt (f(0))
• Extrempunkte: Hochpunkt und Tiefpunkt

...

Grenzverhalten einer ganzrationalen Funktion

Um das Grenzverhalten für x$\longrightarrow$∞ und x$\longrightarrow$-∞ reicht es, den Term mit dem höchsten Exponenten zu betrachten.

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Übungen Grenzverhalten

Tipps zu einigen Aufgaben aus dem Buch (Lambacher Schweizer, EF, Klett

a) f(x) = (x-2)² Tipp: Klammer auflösen mit 2. binomische Formel
f(x) = x² - 2·x·2 + 2²
f(x) = x² - 4x + 4
Für das Grenzverhalten ist also nur x² (Term mit höchstem Exponenten) verantwortlich.
b) f(x) = -x(x² + 5x) Tipp: Klammern auflösen mit ausmultiplizieren
f(x) = -x³ - 5x²
Für das Grenzverhalten ist also nur -x³ verantwortlich.
c) Tipp: Klammern auflösen mit ausmultiplizieren
d) Tipp: Klammern auflösen mit ausmutplizizieren
f(x) = (x - 5)(12 - x):25
f(x) = (12x - x² - 60 + 5x):25
f(x) = (-x² + 17x - 60):25

Der Ausdruck :25 hat keinen Einfluss auf das Grenzverhalten.

a) Tipp: Klammer auflösen mit ausmultplizieren
b) f(x) = 2(x+3)² Tipp: Klammer auflösen mit 1. binomischer Formel und danach ausmultiplizieren
f(x) = 2(x² + 6x + 9)
f(x) = 2x² + 12x + 18

c) und d) Tipp: ausmutliplizieren