Geometrie im Dreieck/Komm zum Punkt

Du hast dich nach Bearbeitung der Diagnoseaufgaben entschlossen, dein Wissen über charakteristische Punkte des Dreiecks aufzufrischen. In deinem Mathebuch findest du das Thema auf den Seiten 56, 57 und 64.

Information

In diesem Lernpfadkapitel werden besondere Punkte eines Dreiecks behandelt.

Bei diesen Punkten handelt es sich um den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt. Um dieses Kapitel bearbeiten zu können, müssen die Winkelhalbierende, die Seitenhalbierende und die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruiert werden können. Wenn du das noch nicht beherrschst, schaue dir dieses Kapitel an.

Bei den Aufgaben unterscheiden wir folgende Typen:

• In Aufgaben, die orange gefärbt sind, kannst du grundlegende Kompetenzen wiederholen und vertiefen.
• Aufgaben in pinker Farbe sind Aufgaben mittlerer Schwierigkeit.
• Und Aufgaben mit lilanem Streifen sind Knobelaufgaben.

Viel Erfolg!

Einstieg

Ganz Münster ist in Angst versetzt. Einbrecher sind in der Stadt unterwegs. Doch Kommissar Biehl hat eine heiße Spur: er weiß wo der nächste Einbruch stattfinden wird. Leider kommen dafür zwei Juweliere und eine Bank infrage.

Kommissar Biehl muss natürlich schnellstmöglich vor Ort sein, um die Einbrecher auf frischer Tat zu ertappen. Wo soll er sich heute Nacht in der Stadt aufhalten, damit er schnell an jedem möglichen Einbruchsort sein kann?

Kannst du ihm mit deinem Wissen über Dreiecke helfen, einen passenden Ort zu finden?

Merksatz

Aufgabe 1:

Vervollständige den Merksatz und kontrolliere deine Lösung. Schreibe dir den Merksatz auch in deinen Unterlagen auf!

Übung

Aufgabe 2.1:

Bilde Paare aus den dargestellten Konstruktionen und den notwendigen Linien.

Konstruktion

Aufgabe 2.1: Konstruktionsaufgabe

Konstruiere mittels der in Geogebra gegebenen Werkzeuge den Umkreis des gegebenen Dreiecks.

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Aufgabe 2.2: Konstruktionsaufgabe

Konstruiere den Inkreis des gegebenen Dreiecks.

Aufgabe 2.3: Konstruktionsaufgabe

Konstruiere den Schwerpunkt des gegebenen Dreiecks.

Basiswissen

Der Kreis, der alle Eckpunkte eines Dreiecks berührt, heißt Umkreis. Der Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks. Zur Konstruktion des Umkreises genügt es, zwei Mittelsenkrechten zu konstruieren.

Der Kreis, der alle Seiten eines Dreiecks genau einmal berührt, heißt Inkreis. Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks. Auch hier genügen zwei Winkelhalbierende zur Konstruktion des Kreises.

Der Schwerpunkt eines Kreises ist der Punkt auf dem das Dreieck balanciert werden kann. Er liegt auf dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Wiederholung

Wiederholung: Umkreis- und Inkreismittelpunkt und Schwerpunkt eines Dreiecks

In Kapitel 3 (Aufgabe 4) habt ihr den Standort eines Hochseilgartens ermittelt, der von den drei Städten Münster, Paderborn und Bielefeld den gleichen Abstand haben soll. Dafür habt ihr den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ermittelt. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, hat von allen drei Eckpunkten des Dreiecks den gleichen Abstand und wird auch als Umkreismittelpunkt bezeichnet.

Zusätzlich habt ihr in Kapitel 3 die Winkelhalbierenden wiederholt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der als Inkreismittelpunkt des Dreiecks bezeichnet wird. Der Inkreismittelpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand. (Geogebra Applet)

Als weiteren wichtigen Punkt in einem Dreieck habt ihr den Schwerpunkt kennengelernt. Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Auf einer Seitenhalbierenden liegt der Schwerpunkt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

(GeoGebra Applet)

Aufgabe 1

Aufgabe 1:

In einem Naturschutzgebiet kreuzen sich die drei Wanderwege a, b und c und bilden ein Dreieck. Es soll ein neuer Brunnen gebaut werden, der für Wanderer von allen drei Wegen gleich gut erreichbar ist. An welchem Punkt im Dreieck sollte der Brunnen gebaut werden, damit der Abstand zu jedem Wanderweg gleich ist?

Aufgabe 2

Aufgabe 1:

a) Ordne die Punkte den Geraden zu, deren Schnittpunkt sie bilden.

Mittelsenkrechte - Umkreismittelpunkt

Winkelhalbierende - Inkreismittelpunkt

Seitenhalbierende - Schwerpunkt

b) Wie kannst du dir gut merken, welcher Punkt zu welchen Geraden gehört? Notiere hierzu eine Eselsbrücke oder eine andere Merktechnik zu den drei Punkten.

Eine einfache Eselsbrücke könnte so lauten:

Schwerpunkt und Seitenhalbierende: Beides beginnt mit "S".

Inkreis und Winkelhalbierende: In beidem kommt "ink" vor.

Umkreis und Mittelsenkrechte: In beidem kommt "m" vor.

Wiederholung

Eigenschaften des Umkreismittelpunkt

Der Umkreismittelpunkt kann als einziger Punkt auch außerhalb des Dreiecks liegen. Nämlich genau dann, wenn das Dreieck einen stumpfen Winkel hat. Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt auf der gegebüberliegenden Seite (Hypotenuse). Im Kasten kannst du die Eckpunkte des Dreiecks verschieben und den Umkreismittelpunkt beobachten. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue hier.

Aufgabe 2

Aufgabe 2:

Notiere zu jedem besonderen Punkt des Dreiecks die Kerneigenschaften.

Der Inkreismittelpunkt hat zu allen Seiten den gleichen Abstand.

Der Umkreismittelpunkt hat zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand.

Der Schwerpunkt liegt immer auf 2/3 der Strecke vom Eckpunkt bis zur gegenüberliegenden Seite.

Aufgabe 3

Aufgabe 3:

Benenne die Punkte M₁ M₂ und M₃ der dynamischen Grafik. Du kannst die Eckpunkte des Dreiecks bewegen.

Deine Lösung:

M₁ - Umkreismittelpunkt, M₂ - Schwerpunkt, M₃ - Inkreismittelpunkt

Du kannst den Umkreismittelpunkt herausfinden in dem du einen stumpfen Winkel im Dreieck erzeugst. Dann liegt der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks. Wenn du nicht mehr weißt was ein stumpfer Winkel ist schaue hier .