E-Learning Boxplot/Lernpfad E-Learning Boxplot

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Die Situation

Die Klassen GHR11A und GHR11B haben eine Klassenarbeit im Fach Biologie geschrieben. Folgendermaßen sind die Klassenarbeiten ausgefallen:

GHR11A

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	5	5	4	3	4	3

GHR11B

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	0	7	6	10	1	0

Nun stellt sich die Lehrerin die Frage, welche der Klassen besser abgeschnitten hat. Sie ermittelt den Notendurchschnitt. Dieser liegt bei beiden Klassen bei 3,2. Somit stellt Sie zufrieden fest, dass beide Klassen gleich gut sind. Wie beurteilen Sie die Erkenntnis der Lehrerin? Sind Sie derselben Meinung? Machen Sie sich ein paar Gedanken, bevor Sie sich die Lösungen ansehen.

Das Problem bei der Beurteilung der Leistungen der Klassen in der Biologiearbeit mithilfe des Notenspiegels liegt darin, dass die Streuung der Noten nicht betrachtet wird. Die Klassenarbeiten der GHR11A bedienen das gesamte Notenspektrum, während die Leistungen in der Klassenarbeit der GHR11B im mittleren Notenbereich eng zusammenliegen. Wir brauchen also ein anderes Instrument, um die Leistungen miteinander vergleichen zu können.

Der Boxplot

Ein Boxplot ist ein Diagramm zur graphischen Darstellung von Datensätzen. Als erstes lernen wir nun die Größen kennen, die in einem Boxplot abgebildet werden.

Minimum: Als Minimum wird der kleinste Wert in einem der Größe nach sortierten Datensatz bezeichnet.

Maximum: Als Maximum wird der größte Wert in einem der Größe nach sortierten Datensatz bezeichnet.

Spannweite: Als Spannweite wird der Abstand bzw. die Differenz zwischen dem Minimum und dem Maximum bezeichnet.

Median: Der Median (oder Zentralwert) teilt einen Datensatz in zwei gleichgroße Hälften ein: Die eine Hälfte der Daten ist höchstens so groß wie der Median, die andere Hälfte ist mindestens so groß. Der Median ist der Wert, der bei der Größe nach geordneten Zahlenwerten in der Mitte liegt. Hier können nun zwei Fälle unterschieden werden:

1. Ist die Anzahl der Zahlenwerte ungerade, dann wird die mittlere Zahl ausgewählt.
2. Ist die Anzahl der Zahlenwerte gerade, dann wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen.

Quartile: Quartile teilen einen nach der Größe sortierten Datensatz in vier gleichgroße Viertel ein (ähnlich wie beim Median, der es in zwei Hälften unterteilt). Bei Quartilen interessieren uns vor allem das erste Quartil und das dritte Quartil. Das zweite Quartil haben wir bereits kennen gelernt, denn es ist der Median. Zur Bestimmung vom ersten und dritten Quartil werden die durch den Median entstandenen Hälften noch einmal auf dieselbe Weise unterteilt, wie wir es bereits beim Median gemacht haben:

1. Ist die Anzahl der Zahlenwerte ungerade, dann wird die mittlere Zahl ausgewählt.
2. Ist die Anzahl der Zahlenwerte gerade, dann wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte genommen

Das erste Quartil wird häufig auch als unteres Quartil bezeichnet. Es besagt, dass mindestens 25% der Stichprobenwerte kleiner oder gleich dem ersten Quartil sind, während dementsprechend höchstens 75% der Werte größer oder gleich dem ersten Quartil sind. Das dritte Quartil wird auch als oberes Quartil bezeichnet. Analog gilt, das mindestens 75% der Werte höchstens so groß sind, wie das dritte Quartil und maximal 25% der Werte minimal so groß sind, wie das dritte Quartil. Außerdem sagen uns die Quartile, dass mindestens 50% der Stichprobenwerte zwischen dem ersten und dem dritten Quartil liegen.

Der Quartilsabstand ist der Abstand bzw. die Differenz zwischen dem ersten und dem dritten Quartil.

Mit einem Boxplot ist es nun möglich, diese Größen anschaulich darzustellen:

Puh, das war viel auf einmal und sehr theoretisch. Ein Beispiel macht es anschaulicher.

Beispiel: GHR11B

Schauen wir uns doch einmal den Notenspiegel der GHR11B an.

GHR11B

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	0	7	6	10	1	0

Anstatt des Notenspiegels betrachten wir nun die Notenliste. Zudem nummerieren wir die Zahlenwerte durch.

Das Minimum und das Maximum können wir schnell ablesen.

GHR11B

Nr.	$x_{(1)}$	$x_{(2)}$	$x_{(3)}$	$x_{(4)}$	$x_{(5)}$	$x_{(6)}$	$x_{(7)}$	$x_{(8)}$	$x_{(9)}$	$x_{(10)}$	$x_{(11)}$	$x_{(12)}$	$x_{(13)}$	$x_{(14)}$	$x_{(15)}$	$x_{(16)}$	$x_{(17)}$	$x_{(18)}$	$x_{(19)}$	$x_{(20)}$	$x_{(21)}$	$x_{(22)}$	$x_{(23)}$	$x_{(24)}$
Note	2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	5

Minimum: 2

Maximum: 5

Somit beträgt die Spannweite 3, denn die Differenz zwischen den Maximum (=5) und dem Minimum (=2) ist 3.

Da die Noten von 24 SchülerInnen angegeben sind, hat die Stichprobe eine gerade Anzahl an Zahlenwerten. Um den Median zu bestimmen, wird also der Durchschnitt vom 12. und 13. Zahlenwert gebliedet.

GHR11B

Nr.	$x_{(1)}$	$x_{(2)}$	$x_{(3)}$	$x_{(4)}$	$x_{(5)}$	$x_{(6)}$	$x_{(7)}$	$x_{(8)}$	$x_{(9)}$	$x_{(10)}$	$x_{(11)}$	$x_{(12)}$	$x_{(13)}$	$x_{(14)}$	$x_{(15)}$	$x_{(16)}$	$x_{(17)}$	$x_{(18)}$	$x_{(19)}$	$x_{(20)}$	$x_{(21)}$	$x_{(22)}$	$x_{(23)}$	$x_{(24)}$
Note	2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	5

Da es sich bei beiden Zahlenwerten um die Zahl 3 handelt, lautet der Median 3.

Durch den Median erhalten wir nun zwei Hälften:

GHR11B

Nr.	$x_{(1)}$	$x_{(2)}$	$x_{(3)}$	$x_{(4)}$	$x_{(5)}$	$x_{(6)}$	$x_{(7)}$	$x_{(8)}$	$x_{(9)}$	$x_{(10)}$	$x_{(11)}$	$x_{(12)}$	$x_{(13)}$	$x_{(14)}$	$x_{(15)}$	$x_{(16)}$	$x_{(17)}$	$x_{(18)}$	$x_{(19)}$	$x_{(20)}$	$x_{(21)}$	$x_{(22)}$	$x_{(23)}$	$x_{(24)}$
Note	2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	5

Um das erste und das dritte Quartil zu bestimmen, teilen wir diese Hälften genauso, wie bei der Bestimmung des Medians. Jede Hälfte besteht aus 12 Zahlenwerten. Somit ist das erste Quartil der Durchschnitt vom 6. und 7. Zahlenwert und das 3. Quartil der Durchschnitt vom 18. und 19. Zahlenwert.

GHR11B

Nr.	$x_{(1)}$	$x_{(2)}$	$x_{(3)}$	$x_{(4)}$	$x_{(5)}$	$x_{(6)}$	$x_{(7)}$	$x_{(8)}$	$x_{(9)}$	$x_{(10)}$	$x_{(11)}$	$x_{(12)}$	$x_{(13)}$	$x_{(14)}$	$x_{(15)}$	$x_{(16)}$	$x_{(17)}$	$x_{(18)}$	$x_{(19)}$	$x_{(20)}$	$x_{(21)}$	$x_{(22)}$	$x_{(23)}$	$x_{(24)}$
Note	2	2	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	4	5

Das erste Quartil liegt bei 2. Das dritte Quartil liegt bei 4. Der Quartilsabstand liegt also bei 2.

Nun haben wir alle notwendigen Größen bestimmt und sind in der Lage, den zugehörigen Boxplot darzustellen.

Dies ist nun ein besonderer Boxplot, da sowohl das Minimum als auch das erste Quartil bei 2 liegen. Wie können wir den Boxplot nun deuten?

Deutung eines Boxplots

Dem Boxplot können wir entnehmen, dass alle Noten zwischen 2 und 5 liegen. Da der Median bei 3 liegt, hat die eine Hälfte der Klasse eine 3 oder eine bessere Note geschrieben, während die andere Hälfte der Klasse eine 3 oder eine schlechtere Note geschrieben hat. Dem ersten Quartil können wir entnehmen, dass mindestens ein Viertel der Klasse eine 2 oder eine bessere Note geschrieben hat. Da aber das Minimum auch bei 2 liegt und damit niemand besser ist als eine 2, hat mindestens ein Viertel der Klasse eine 2 geschrieben. Außerdem können wir am 1. Quartil ablesen, dass höchstens 75% der Klasse eine 2 oder eine schlechtere Note geschrieben hat. Das dritte Quartil sagt uns, dass mindestens 75% der Klasse eine 4 oder eine bessere Note geschrieben hat und höchstens 25% eine 4 oder eine schlechtere Note. Außerdem haben mindestens 50% der Klasse eine Note zwischen 2 und 4.

Aufgabe

Wir haben an einem Beispiel gesehen, wie ein Boxplot erstellt und gedeutet wird. Ihre Aufgabe ist es nun einen Boxplot für die Biologiearbeit der Klasse GHR11A zu erstellen.

GHR11A

Note	1	2	3	4	5	6
Anzahl	5	5	4	3	4	3

a) Geben Sie die folgenden Größen für die Biologieklassenarbeit der GHR11a an. Dafür müssen Sie zunächst alle Werte eingeben und dann auf "prüfen" klicken. Falls alle Angaben richtig sind, wird es Ihnen mitgeteilt. Falls nicht, werden die nicht korrekten Werte gelöscht und Sie können die korrekte Lösung erneut eingeben und prüfen.

• Minimum: 1()
• Maximum: 6()
• Spannweite: 5()
• Median: 3()
• Erstes Quartil: 2()
• Drittes Quartil: 5()
• Quartilsabstand: 3()

b) Zeichnen Sie den Boxplot auf ein Blatt Papier. Wenn Sie das erledigt haben, können Sie Ihren Boxplot hier mit der Lösung abgleichen.

c) Schreiben Sie die Deutung des Boxplots auf einem Blatt Papier nieder. Anschließend können Sie Ihre Deutung mit dieser möglichen Lösung abgleichen.

Dem Boxplot können wir entnehmen, dass alle Noten zwischen 1 und 6 liegen. Da der Median bei 3 liegt, hat die eine Hälfte der Klasse eine 3 oder eine bessere Note geschrieben, während die andere Hälfte der Klasse eine 3 oder eine schlechtere Note geschrieben hat. Dem ersten Quartil können wir entnehmen, dass mindestens ein Viertel der Klasse eine 2 oder eine bessere Note geschrieben hat. Außerdem können wir am 1. Quartil ablesen, dass höchstens 75% der Klasse eine 2 oder eine schlechtere Note geschrieben hat. Das dritte Quartil sagt uns, dass mindestens 75% der Klasse eine 5 oder eine bessere Note geschrieben hat und höchstens 25% eine 5 oder eine schlechtere Note. Außerdem haben mindestens 50% der Klasse eine Note zwischen 2 und 4.

Diskussion

Die Lehrerin hat behauptet, dass die Leistungen der beiden Klasen gleich sind. Diskutieren Sie die Aussage nun mithilfe der Boxplots.