Bei eurem Schulfest gibt es eine Tombola. Es geht darum, aus einem Glas eine Kugel zuziehen. Bevor du blind ziehen darfst, wird dir einmal der Inhalt des Glases gezeigt, du zählst die Kugeln. Außerdem steht ein Schild neben der Urne (Abbildung 2). Du kannst auf die Bilder klicken, um sie in vergrößerter Form zu sehen.
Es sind 20 blaue Kugeln, 12 rote, 9 gelbe und 3 grüne.
Nun ziehst du blind eine Kugel.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du einen Stift gewinnst (gelbe Kugel)? Gib die Lösung in Prozent an.
Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ereignisse gibt es?
Hier kann man das Baumdiagramm auf 2 Arten zeichnen.
Man kann eines mit 4 Ereignissen zeichnen:
1. Die Kugel ist grün.
2. Die Kugel ist gelb.
3. Die Kugel ist rot.
4. Die Kugel ist blau.
Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich dann aus der absoluten Häufigkeit der Kugeln. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:
Optional kann man man eines mit 2 Ereignissen zeichnen:
1. Die Kugel ist gelb.
2. Die Kugel ist nicht gelb.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel gelb ist, ergibt sich dann aus der absoluten Häufigkeit der gelben Kugeln. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kugel nicht gelb ist efolgt aus der Komplementärregel.
Komplementärregel
Hat ein Experiment genau zwei EReignisse, so spricht man von Ereignis und Gegenereignis. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden ergeben in der Summe 1:
Das Baumdiagramm sieht dann so aus:
Rechne das nun in Prozent um:
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrac{9}{44} \approx 0,2045 = 20,45 %.}
Die Wahrscheinlichkeit einen Stift zu gewinnen liegt bei 20,45%.
b) Oben auf dem Plakat steht: "Hier ist Gewinnen wahrscheinlicher, als Verlieren!". Stimmt das? Berechne zunächst die einzelnen Wahrscheinlichkeiten. Gibt die Lösung wieder in Prozent an.
Zeichne ein Baumdiagramm. Wie viele Ausgänge gibt es?
Auch hier kann das Baumdiagramm auf 2 Arten gezeichnet werden:
Man kann eines mit 4 Ereignissen zeichnen:
1. Die Kugel ist grün.
2. Die Kugel ist gelb.
3. Die Kugel ist rot.
4. Die Kugel ist blau.
Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich dann aus der absoluten Häufigkeit der Kugeln. Das Baumdiagramm sieht dann so aus:
Optional kann eines mit 2 Ereignissen gezeichnet werden:
Die Wahrscheinlichkeit für das Gewinnen ergibt sich aus der Komplementärregel. Die absolute Häufigkeit der blauen Kugeln, mit denen man verliert, liegt bei . Die Komplementärregel ergibt dann für das Gewinnen: .
Das Baumdiagramm sieht dann so aus:
Nun rechnet man die Brüche in Prozent um:
Wahrscheinlichkeit zu verlieren: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle \tfrac{5}{11} \approx 0,4545 = 45,45 %}
.
Wahrscheinlichkeit zu gewinnen: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („cli“) hat berichtet: „[INVALID]“): {\displaystyle 100%-45,45%=54,55%}
.
Die Wahrscheinlichkeit, zu gewinnen liegt bei 54,55 %, die zu verlieren bei 45,45%. Die Aussage stimmt also.